Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Геометрия. 8 класс. Теоремы, определения.
Автор: Лязина Людмила Андреевна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Геометрия. 8 класс. Теоремы, определения.
Автор: Лязина Людмила Андреевна
Геометрия. 8 класс.Теоремы, определения.МногоугольникМногоугольник — геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная Выпуклый многоугольник— многоугольник, который лежит по одну сторону от прямой, которая проходит через 2 его смежные вершины Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющие 2 несоседние вершины Формула суммы углов n - угольника, n — число вершин(сторон) ПараллелограммПараллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны Свойства параллелограммаВ параллелограмме противоположные стороны равны Доказательство.На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что АВ = CD и ВС = AD. Проведём диагональ АС. Рассмотрим треугольники ABC и ACD, у них:сторона AC - общая, ∠1 = ∠3 как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей AC, ∠2 = ∠4 равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Следовательно, ∆ ABC = ∆ ADC по второму признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = CD и ВС = AD. В параллелограмме противоположные углы равны На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что ∠BAD = ∠BСD , ∠B = ∠D.При доказательстве теоремы о свойстве противолежащих сторон параллелограмма было установлено, ΔABC = ΔADC. Отсюда ∠B = ∠D.Из того, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4 следует, что ∠1 + ∠2= ∠3 + ∠4.Следовательно, ∠BAD = ∠BСD.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам Доказательство.На рисунке изображён параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажем, что AO = OC и BO = OD.Рассмотрим ∆ AOD и ∆ BOC. Они равны, так как ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущих AC и BD соответственно. По имеем AD = BC . Следовательно, ∆AOD = ∆BOC по второму признаку равенства треугольников. AO = OC и BO = OD.Признаки параллелограммаЕсли в четырехугольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм ТрапецияТрапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны — не параллельны Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции Не параллельные стороны называются боковыми сторонами Трапеция равнобедренная, если её боковые стороны равны Трапеция прямоугольная, у которой одна боковая сторона, перпендикулярна основаниям ПрямоугольникПрямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые Свойства прямоугольникаДиагонали прямоугольника равны Признаки прямоугольникаЕсли в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник Если в параллелограмме есть хотя бы 1 прямой угол, то этот параллелограмм прямоугольник РомбРомб — параллелограмм, у которого все стороны равны Свойства ромбаДиагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов Признаки ромбаПараллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Параллелограмм, диагональ которого является биссектрисой его угла КвадратКвадрат прямоугольник, у которого все стороны равны Свойства квадратаВсе углы квадрата прямые Диагонали квадрата равны, взаимно-перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов СимметрияДве точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметрична ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры Две точки называются симметричными относительно точки О, если О середина отрезка Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. ПлощадиВысота треугольника -перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника(основание) Высота параллелограмма -перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание Равные многоугольники имеют равные площади Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников Площадь квадрата равна квадрату его стороны Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высотуПлощадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности Площадь треугольника равна частному произведения его сторон к радиусу описанной окружности, умноженному на 4 Формула Герона Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее основания на высоту Прямоугольный треугольникТеорема Пифагора: B прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольныйПифагоровы тройки: треугольники со сторонами 3,4,5; 6,8,10 и т.д Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенуз и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой проведенной из вершины прямого угла ПодобиеПодобные треугольники - это треугольники, у которых углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого Коэффициент подобия — это число , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия Признаки подобия треугольниковПервый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны Третий признак подобия треугольников: Если три стороны одного треугольника пропорциональным трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны Средняя линия треугольника.Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны Некоторые свойства геометрических фигурПараллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники Теорема Фалеса Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на них равные отрезки Пропорциональные отрезки Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки ОкружностьОкружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу Формула длины окружности Формула площади круга Окружность и треугольникВ любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности будет являться точка пересечения биссектрис треугольника Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника Вписанный четырехугольникВписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Центр окружности, описанной около четырехугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность : Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°. Признак четырехугольника, который можно вписать в окружность : Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около четырехугольника можно описать окружность. Описанный четырехугольникОписанный четырехугольник — четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности. Окружность называют вписанной. Центр окружности, вписанной в четырехугольник,— точка пересечения биссектрис всех его углов. Свойство четырехугольника, описанного около окружности : Если четырехугольник описан около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон. Признак четырехугольника, в который можно вписать окружность: Если у четырехугольника сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон, то в него можно вписать окружность. Признак принадлежности четырех точек одной окружности: Если одна сторона выпуклого четырёхугольника видна из двух его вершин под равными углами, то около этого четырёхугольник можно описать окружность.
