Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: "Свойства функций"
Автор: Шерстобитова Татьяна Викторовна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: "Свойства функций"
Автор: Шерстобитова Татьяна Викторовна
Примеры дифференцированных заданий и методика работы с нимиДля начала давайте разберем, какие задания по теме «Производная функции» встречаются в учебниках по алгебре и начала анализа. Для примера мы выбрали учебник С.М. Никольского для 11 класса, под редакцией «Просвещение» в 2022 году [16].Задания охватывают весь стандартный курс: от простого вычисления до сложных приложений.Вот основные типы задач, распределенные по разделам и уровню сложности.Техника дифференцирования Самый первый и базовый тип заданий, направленный на отработку формул и правил вычисления производной.Нахождение производной элементарных функций. Пример 1.1. Найдите производную функции Чтобы решить данное задание, нам нужно вспомнить, как найти производную суммы (разности) и как найти производную от x в n – ой степени. – Производная суммы (разности)..Решение: (.Нахождение производной в конкретной точке. Пример 1.2. Найти , если , .Для решения данного задания необходимо воспользоваться правилом дифференцирования произведения функций, производную синуса и значение синуса и косинуса в данной точке.....Решение: для начала найдем производную f(x)=x·sin x. Теперь подставим значение точки в производную функции.Производные степенных, логарифмических и тригонометрических функций. Встречаются задания с функциями вида , , tg (4x).Пример 1.3.А) Найти производную функции f(x)= .В данном задании функция сводится к виду . Вспомним, как найти производную функции: . .Отсюда получаем: Б) Найти производную функции .Для решения данного задания необходимо вспомнить, как найти производную функции вида ..Подставим нашу функцию в данную формулу: В) Вычислите значение производной функции в точке .Для решения данного задания необходимо вспомнить, как найти производную функции Стоит отметить, что данная функция является сложной, поэтому, необходимо будет найти производную и от 2х.Найдем производную заданной функции y=tg (4x).Подставим в производную = = = Геометрический смысл производной Это одна из ключевых тем, так как она напрямую выносится на ЕГЭ профильного уровня – задача на касательную и анализ графиков. Поэтому разберем более подробно данный пункт.Фундаментальная теория (Что нужно знать ученику) Прежде чем решать задачи, ученик должен четко усвоить главное:Геометрический смысл производной: Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой ., где – угол между касательной и положительным направлением оси .Тип задания 1: Составление уравнения касательной.Это стандартное задание на прямое применение формулы.Алгоритм решения (Подробная инструкция для ученика)Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке , нужно выполнить 4 шага:Найти значение функции в точке касания: Вычислить .Это дает нам координаты точки касания ().Найти производную функции: Вычислить .Найти угловой коэффициент (производную в точке): Вычислить (.Это дает нам наклон касательной.Подставить данные в уравнение касательной: Общее уравнение касательной выглядит так:Или в школьной записи: . После подстановки чисел упростить выражение (раскрыть скобки, привести подобные), чтобы получить уравнение в виде .Разберем пример из учебника.Пример 2.1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .Вычислим значение функции в точке , подставив в формулу вместо x единицу: . Получили точку (2;10).Найдем производную функции: )’ = . Найдем значение производной в данной точке . = Составим уравнение касательной: Ответ: Касательная задается уравнением Тип задания 2: Работа с графиком производной Это задания на анализ, которые часто кажутся сложнее, но они решаются по четким правилам. Здесь мы не знаем формулу самой функции, но видим поведение её производной.Правило 1: Связь графика производной с графиком функцииЕсли дан график , то:Там, где график производной выше оси Там, где график производной ниже оси Там, где график производной пересекает ось находятся точки экстремума (максимума или минимума). Подтипы задач и их разбор:А) Определение наибольшего/наименьшего значения функции на отрезке.Условие: Дан график производной функции , заданной на отрезке [a; b]. В какой точке этого отрезка функция принимает наибольшее значение?Итак, разберем решение:Смотрим, где на отрезке производная меняет знак с «+» на «-». Это точка максимума (вершина горки). Если на отрезке есть точка максимума, то значение в ней – самое большое на отрезке (при условии, что функция до этого «росла», а после «падала»). Важно: Если функция на отрезке просто убывает (производная везде отрицательна), то наибольшее значение будет в левой границе отрезка x=a. Если просто возрастает – в правой границе x=b. Пример 2.2.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-10;8). Найдите количество точек максимума функции.Рис. 2Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−9;6] функция имеет две точки максимума x = − 4 и x = 4.Ответ: 2.Б) Определение количества точек, в которых касательная параллельна заданной прямой.Условие: Дан график функции (или её производной). Найти количество точек, в которых касательная параллельна прямой (или любой другой).Теория: Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной – это . Например, у прямой коэффициент равен 4.Задача сводится к: найти количество точек, в которых .Случай 1: Дан график самой функции Нужно мысленно (или схематично) нарисовать касательные. Найти места, где касательная наклонена под таким же углом, как прямая y=2x. Это сложный глазомерный способ.Случай 2 (самый частый в учебниках и ЕГЭ): Дан график производной Это решается элементарно:На графике чертим горизонтальную линию на уровне y=4 (так как мы ищем ). Считаем, сколько раз график производной пересекает эту горизонтальную линию (или касается её, если считать точки касания). Количество пересечений и будет ответом. Пример 2.3.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.Рис. 3Решение. Найдем производную y(x) = −2x − 11.На графике проводим прямую y=-2 и считаем количество точек, где прямая пересекает график на интервале (-10; 2). Рис 4.Ответ: На данном интервале таких точек 5.Методический совет по отработке (Как объяснять в классе)Для успешного усвоения этого раздела рекомендуется использовать прием визуализации и динамические чертежи (например, в Desmos или на интерактивной доске).Связь графика и производной: Покажите график параболы (например,) и её производной (прямой y=2x) на одном поле. Попросите учеников показать пальцем на графике параболы точку, где производная равна 0 (вершина), где она положительна (ветвь вправо от нуля), где отрицательна (ветвь влево от нуля). Затем покажите, как это отражается на графике прямой Прием «Эстафета» для касательной: Один ученик называет функцию f(x), второй – точку x0, третий начинает решать по шагам (находит значение, производную), четвертый заканчивает уравнение. Это повышает вовлеченность класса. Физический (механический) смысл производной В основе лежит наблюдение: если мы знаем закон движения тела (материальной точки), мы можем узнать его скорость в любой момент времени, и наоборот.Физический смысл производной: Производная от функции, описывающей закон движения материальной точки по координате x(t), равна мгновенной скорости этой точки в данный момент времени t.Производная от скорости (вторая производная от координаты) равна ускорению:Важное различие:Средняя скорость на промежутке [t1;t2] – это (весь путь делить на всё время). Мгновенная скорость – это скорость в конкретное время t0, которую мы и находим через производную. Тип задания 1: нахождение скорости для прямолинейного движения (прямая задача)Это самое простое и распространенное задание. Дан закон движения x(t), нужно найти скорость в момент времени t0.Алгоритм решения (Подробная инструкция для ученика)Вспомнить обозначения: обычно x(t) – это координата точки (или пройденный путь) в метрах, t – время в секундах. Скорость будет в м/с. Найти производную функции: вычислить U(t)=x’(t) по правилам дифференцирования. Подставить момент времени: подставить заданное значение t=t0 в формулу скорости U(t). Записать ответ: полученное число – искомая мгновенная скорость. Пример из учебного стиля.Пример 3.1. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах). Найдите её скорость в момент времени t=3 c.Ищем производную (закон скорости): (Мы получили формулу, по которой можно найти скорость в любой момент времени).Подставляем t=3: Ответ: Скорость точки в момент t=3 с равна 24м/с. Тип задания 2: Нахождение момента времени по заданной скорости (Обратная задача)Здесь задача усложняется: нам нужно не просто подставить число, а решить уравнение.Алгоритм решения: Найти закон скорости: аналогично первому типу, находим производную Составить уравнение: приравниваем полученную функцию скорости к заданному числу U0 Решить уравнение: найти значение t, которое удовлетворяет этому равенству. Анализ ответа: если получилось несколько корней (например, время не может быть отрицательным), нужно выбрать физически осмысленный (обычно t≥0). Пример 3.2. Материальная точка движется прямолинейно по закону . В какой момент времени её скорость станет равной 4 м/с?Находим закон скорости: Составляем уравнение: по условию U(t)=4 м/с. Значит, Решаем уравнение: Ответ: Скорость точки станет равной 4 м/с через 1 секунду после начала движения. Тип задания 3: Усложненные задачи (Нахождение ускорения и комбинированные)В учебнике Никольского и в задачах ЕГЭ могут встречаться задания, где нужно использовать вторую производную или комбинировать условия.А) Нахождение ускоренияЕсли закон движения x(t) известен, то ускорение a(t) – это производная от скорости (или вторая производная от координаты)Пример 3.3. Тело движется по закону . Найдите ускорение тела в момент t=2 с.Решение:Находим скорость:. Находим ускорение: Подставляем момент: Ответ: 36 м/с2. Б) Определение момента остановкиМомент остановки – это момент, когда скорость равна нулю.Пример 3.4. Найти момент времени, когда тело остановится.Решение: Решаем уравнение U(t)=0.В) Определение направления движенияСкорость может быть отрицательной (тело движется в обратную сторону относительно выбранного направления оси).u(t) > 0 - тело движется в положительном направлении оси. u(t) < 0 – тело движется в отрицательном направлении. Сводная таблица для запоминанияЧтобы ученики не путались, можно предложить такую шпаргалку:Методический совет по отработкеДля лучшего понимания полезно использовать графическую интерпретацию:Постройте на доске график движения x(t) (например, параболу x(t)=t2). Попросите учеников показать пальцем точку на графике, где тело двигалось быстрее всего (где график круче — там больше производная). Затем постройте график скорости u(t)=2t — прямую линию. Так ученики увидят связь: пока график движения растет медленно (около нуля), график скорости низкий; чем круче график Этот прием помогает преодолеть абстрактность понятия «производная» и показывает её как реальную характеристику процесса.Применение производной к исследованию функций Раздел «применение производной к исследованию функций» — это центральный и самый объемный блок в теме производной. Именно здесь математический аппарат начинает работать как полноценный инструмент анализа. В учебнике Никольского (и на ЕГЭ) этим заданиям уделяется особое внимание.Прежде чем решать задачи, ученик должен усвоить два главных правила, связывающих график с поведением самой функции Признак монотонности: Если на интервале (a; b), то функция возрастает на этом интервале. Если на интервале (a; b), то функция убывает на этом интервале. Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма): Если x0 – точка экстремума функции (минимума или максимума) и в этой точке существует производная, то . Важно: Обратное не всегда верно. Если то это может быть просто точка перегиба (как у в нуле). Поэтому точки, где производная равна нулю или не существует, называются критическими точками, и их нужно проверять. Достаточное условие экстремума (Правило смены знака): Если при переходе через критическую точку x0 производная меняет знак с «+» на «-», то x0 – точка максимума. Если при переходе через критическую точку x0 производная меняет знак с «-» на «+», то x0 – точка минимума. Если знак не меняется – экстремума нет. Тип задания 1: Нахождение промежутков монотонности (Возрастание/убывание)Это базовое задание, которое учит работать со знаком производной.Алгоритм решения:Найти область определения функции D(f) (важно: точки, не входящие в ОДЗ, автоматически выкалываются из промежутков). Найти производную Найти критические точки: решить уравнение и найти точки, где не существует (но функция существует). Отметить критические точки и точки разрыва на числовой прямой в соответствии с областью определения. Определить знак производной на каждом полученном интервале (подставить любое удобное число из интервала в формулу производной). Записать ответ: Там, где – функция возрастает, где – функция убывает. Пример 4.1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .Решение: (вся числовая прямая). Критические точки: Отмечаем точки 0 и 2 на прямой. Получаем интервалы: (-. Проверяем знаки: На (- возьмем x=-1: (возрастает). На возьмем x=1: (убывает). На возьмем x=4: (возрастает). Ответ: Функция возрастает на (- и ; убывает на [0; 2]. (Квадратные скобки ставятся, так как в точках экстремума функция определена, но это зависит от требований учителя; часто пишут интервалы).Тип задания 2: Нахождение точек экстремума (Максимум/Минимум)Это продолжение предыдущего задания, но теперь мы даем названия точкам.Алгоритм решенияВыполнить пункты 1-4 из предыдущего алгоритма (найти производную и критические точки). Определить знаки производной на интервалах (схема та же). Сделать вывод по правилу смены знака: Если меняет знак с + на – при переходе через точку x0, то x0 – точка максимума. Если меняет знак с – на + при переходе через точку x0, то x0 – точка минимума. Найти значение функции в точках экстремума (по желанию, если это требуется в задании). Пример 4.2. Найти точки экстремума функции .Решение (продолжение предыдущего):В точке знак меняется «+» (слева) на «-» (справа) => это максимум. В точкезнак меняется с «-» (слева)на «+» (справа) => это минимум. Ответ: .Тип задания 3: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке Это задание часто встречается в ЕГЭ (Задание №12) и в контрольных работах.Важное различие:На интервале (a; b) функция может не иметь наибольшего/наименьшего значения (стремиться к бесконечности). На отрезке [a; b] непрерывная функция всегда достигает своего максимума и минимума (теорема Вейерштрасса). Алгоритм решения:Убедиться, что функция непрерывна на отрезке [a; b] (школьные функции обычно непрерывны в своей области определения). Найти производную . Найти критические точки, принадлежащие данному отрезку (решить и отобрать корни, лежащие внутри [a; b]). Вычислить значение функции: На концах отрезка: и ; Во всех критических точках из п.3 Сравнить полученные числа. Самое большое – это , самое маленькое - . Пример 4.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2;4].Решение:Функция непрерывна на отрезке [-2; 4]. Производная: Критические точки: и . Обе входят в отрезок [-2;4]. Вычисляем значения: На концах: В критических точках: ; Сравниваем: {-40; 32; 0;-8}. Ответ: =32 (в точке x=4). =-8 (в точке x=2).Тип задания 4: Комплексное исследование функции и построение графикаЭто задание повышенного уровня. Здесь нужно собрать все знания воедино и выполнить построение графика.Полный план исследования (по Никольскому):Область определения функции D(f). Четность/Нечетность: (симметрична относительно начала координат) Точки пересечения с осями координат: С осью : x=0 => y=f(0) С осью : y=0 => f(x)=0 (решить уравнение). Асимптоты (если есть): Вертикальные (в точках разрыва) и наклонные/горизонтальные (при - в 11 классе чаще всего ограничиваются горизонтальными асимптотами для простых функций). Исследование с помощью производной: Найти Найти критические точки. Определить промежутки монотонности. Найти точки экстремума и значения функции в них. Таблица значений (для уточнения графика, если нужно). Построение графика. Пример 4.4. Исследовать функцию и построить график.Краткое исследование:D=R Ни четная, ни нечетная. ). Пересечение с : (0; 0). С : Нет асимптот Производная: Экстремумы: Функция возрастает на (- и ; убывает на [0; 2].График: Строим координатную плоскость, отмечаем ключевые точки (0;0), (2;-8); (3;0) и рисуем кривую, помня о промежутках возрастания/убывания.Рис. 5Методический совет для учителя:Для отработки этого раздела очень эффективен прием визуализации: Доска в клетку: Рисуем оси. Маркеры: Просим учеников выходить и отмечать точки экстремумов. Цветные мелки: Рисуем стрелки возрастания/убывания прямо над осью OX. Алгоритмические карточки: Раздаем каждому ученику памятку с 6 шагами исследования, чтобы он мог сверяться. Также на уроках для построения графиков можно использовать такие платформы, как GeoGebra и Desmos.После прохождения этого блока ученик должен понимать, что производная — это не просто «значок штриха», а мощный инструмент, позволяющий «увидеть» форму графика, не вычисляя сотни точек.
