Публикация. Свойства медианы в прямоугольном треугольнике. Адамова Раиса Гайдарбековна

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
Автор: Адамова Раиса Гайдарбековна

Свойство медианы прямоугольного треугольникаМедиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.∠C=90∘,CM – медиана △ABC⇒AM=BM=CMПризнак прямоугольного треугольника (медиана)Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.CM – медиана △ABC,AM=BM=CM⇒∠C=90∘Прямоугольный треугольник с углом 30∘1. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30∘, равен половине гипотенузы.2. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30∘.∠A=30∘⇔BC=12ABНеравенство треугольникаСумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.b+c>a, a+c>b, a+b>cНаверхУсловия существования треугольника с заданными сторонами1. Три положительных числа a, b и c являются длинами сторон некоторого треугольника тогда и только тогда, когда выполнены все три неравенства b+c>a, a+c>b, a+b>c.2. Если a≥b>0 и a≥c>0, то для существования треугольника с длинами сторон a, b и c необходимо и достаточно выполнение неравенства b+c>a.НаверхНеравенства между сторонами и углами треугольникаВ треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, напротив большего угла лежит большая сторона.a>b⇒∠A>∠B∠A>∠B⇒a>bНаверхНеравенства между внешним и внутренним углами треугольникаВнешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.α′>β,α′>γТеорема о сумме углов треугольникаСумма углов треугольника равна 180∘.∠A+∠B+∠C=180∘НаверхТеорема о внешнем угле треугольникаВнешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.α′=β+γОпределение равнобедренного треугольникаТреугольник называется равнобедренным, если у него есть равные стороны. Равные стороны называются при этом боковыми, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.△ABC равнобедренный;AC – основание, AB, BC – боковые стороны △ABCНаверхСвойство углов при основании равнобедренного треугольникаУглы при основании равнобедренного треугольника равны.AB=BC⇒∠BAC=∠CABНаверхСвойство медианы равнобедренного треугольникаВ равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.AB=BC,AD=DC⇒∠ABD=∠CBD,BD⊥ACНаверхСвойство высоты равнобедренного треугольникаВ равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.AB=BC,BD⊥AC⇒AD=DC∠ABD=∠CBDНаверхСвойство биссектрисы равнобедренного треугольникаВ равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.AB=BC,∠ABD=∠CBD⇒AD=DC,BD⊥ACНаверхПризнак равнобедренного треугольника: равные углыЕсли два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.∠BAC=∠CAB⇒AB=BCНаверхПризнак равнобедренного треугольника: совпадение медианы и высотыЕсли в треугольнике медиана и высота, проведённые к одной стороне, совпадают, то этот треугольник равнобедренный.AD=DC,BD⊥AC⇒AB=BCНаверхПризнак равнобедренного треугольника: совпадение медианы и биссектрисыЕсли в треугольнике медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, совпадают, то этот треугольник равнобедренный.AD=DC,∠ABD=∠CBD⇒AB=BCНаверхПризнак равнобедренного треугольника: совпадение высоты и биссектрисыЕсли в треугольнике высота и биссектриса, проведённые к одной стороне, совпадают, то этот треугольник равнобедренный.BD⊥AC,∠ABD=∠CBD⇒AB=BCОпределение средней линии треугольникаСредняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.MN – средняя линия треугольника ABCНаверхСвойство средней линии треугольникаСредняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.MN||AC,MN=1/2ACНаверхСрединный треугольникСредние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2. Треугольник из средних линий назвается срединным треугольником.MNP – срединный треугольник треугольника ABCОпределение медианыМедиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.AM – медиана к стороне BCНаверхТочка пересечения медианМедианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.AGGA1=BGGB1=CGGC1=2/1НаверхМедиана и площадь треугольникаМедиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади.SABM=SACMНаверхФормула длины медианыma=122b2+2c2−a2−−−−−−−−−−−√Определение высоты треугольникаВысотой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне треугольника или её продолжении и перпендикулярный этой стороне.BD – высота треугольникаABCНаверхТочка пересечения высот треугольникаВысоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром треугольника.H – ортоцентр треугольника ABCНаверхОкружности, связанные с высотами треугольникаВ равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.AB=BC,AD=DC⇒∠ABD=∠CBD,BD⊥ACНаверхВысоты и подобные треугольникиВ равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.AB=BC,BD⊥AC⇒AD=DC∠ABD=∠CBDОпределение биссектрисыБиссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и лежащий на биссектрисе угла треугольника.AL – биссектриса треугольника ABCНаверхТочка пересечения биссектрис треугольникаБиссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника и является центром окружности, вписанной в треугольник.I – точка пересечения биссектрисНаверхСвойство биссектрисы треугольникаОтношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих к этим отрезкам сторон треугольника.BLCL=ABACНаверхФормула длины биссектрисы la=bc−b1c1−−−−−−−−√, гдеb1=abb+c,c1=acb+cНаверхСвойство биссектрисы вписанного углаБиссектриса угла, вписанного в окружность, делит пополам дугу, на которую он опирается. Хорды, стягиваемые дугами, которые стороны данного угла и его биссектриса высекают на окружности, также равны.BW⌣=CW⌣,BW=CWНаверхТеорема о трилистникеПусть биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность этого треугольника в точке W, и пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда WB=WC=WI. При этом AI⋅WI=2Rr, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC соответственно.НаверхПодобные треугольники и метрические соотношенияПри обозначениях, показанных на рисунке (m=CW),△ACW∽△DCB∽△DAW,△BCW∽△DCA∽△DBW.Кроме того, справедливы равенства:a1b1=ab;l2=ab−a1b1;lk=a1b1;d2=km;lm=ab;l+k=m;a1+b1=c.Теорема об описанной окружности треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных ерпендикуляров к сторонам треугольника.НаверхРасположение центра описанной окружности1. Центр описанной окружности остроугольного треугольника лежит внутри этого треугольника.2. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне этого треугольника.3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника есть середина гипотенузы.НаверхРадиус описанной окружности треугольникаРадиус описанной окружности треугольника ABC может быть вычислен по формулам:R=a2sinA,R=b2sinB,R=c2sinC,R=abc4S,где a, b и c – длины сторон треугольника ABC, S – его площадь.Теорема о вписанной окружности треугольникаВ любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис треугольника.НаверхДлины отрезков касательных к вписанной окружностиПусть a, b и c – длины сторон треугольника ABC и p=12(a+b+c) – его полупериметр. Тогда длины отрезков касательных из вершин A, B, C до точек касания вписанной окружности со сторонами треугольника равны p−a, p−b, p−c соответственно.НаверхРадиус вписанной окружности треугольникаРадиус r вписанной окружности треугольника может быть вычислен по формуле.r=Sp,где a, b и c – длины сторон треугольника, p=12(a+b+c) – его полупериметр, S – площадь треугольника.Определение подобных треугольниковДва треугольника называются подобными, если отношения всех их соответствующих сторон равны. Отношение k соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.△ABC∽△A1B1C1⇔ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1;k=ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1НаверхСвойство углов подобных треугольниковЕсли треугольники подобны, то все их соответствующие углы равны.△ABC∽△A1B1C1⇒∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1НаверхПервый признак подобия треугольниковЕсли отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны.ABA1B1=ACA1C1,∠A=∠A1⇒△ABC∽△A1B1C1НаверхВторой признак подобия треугольниковЕсли два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.∠A=∠A1,∠B=∠B1⇒△ABC∽△A1B1C1НаверхТретий признак подобия треугольниковЕсли отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны.ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1⇒△ABC∽△A1B1C1НаверхОтношение соответствующих линейных элементов подобных треугольниковОтношение любых двух соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников. (Соответствующие линейные элементы – это отрезки подобных фигур, полученные одинаковой конструкцией. Например, медианы треугольников, проведённые к соотвествующим сторонам, радиусы описанных окружностей, периметры, и так далее.)ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1⇒△ABC∽△A1B1C1НаверхОтношение площадей подобных треугольниковОтношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1=k⇒SABCSA1B1C1=k2НаверхПараллельные прямые и подобие треугольниковЕсли стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны. В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники.AB||A1B1,AC||A1C1,BC||B1C1⇒△ABC∽△A1B1C1;AB||A1B1,D=AA1∩BB1⇒△ABD∽△A1B1DНаверхТрапеция и подобные треугольникиПри пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции.△AOD∽△COB,k=ADBC;△AED∽△BEC,k=ADBCНаверхСекущие к окружности и подобные треугольникиПри пересечении двух прямых с окружностью образуются подобные треугольники.△ABC∽△B1A1C,k=ABB1A1=ACB1CBCA1CНаверхКасательная к окружности и подобные треугольникиПусть к окружности проведена кастельная CB и секущая CA, пересекающая окружность во второй раз в точке A1. Тогда △ABC∽△BA1C.△ABC∽△BCA1,k=ABBA1=ACBCBCA1CОпределение прямоугольного треугольника и его стороныТреугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами прямоугольного треугольника, а сторона, противолежащая прямому углу – гипотенузой прямоугольного треугольника.△ABC прямоугольный;AC, BC – катеты, AB – гипотенузаНаверхСвойство медианы прямоугольного треугольникаМедиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.∠C=90∘,CM – медиана △ABC⇒AM=BM=CMНаверхПризнак прямоугольного треугольника (медиана)Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.CM – медиана △ABC,AM=BM=CM⇒∠C=90∘НаверхПрямоугольный треугольник с углом 30∘1. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30∘, равен половине гипотенузы.2. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30∘.∠A=30∘⇔BC=12ABНаверхПризнаки равенства прямоугольных треугольников1. По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то данные треугольники равны.2. По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то данные треугольники равны.3. По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то данные треугольники равны.4. По катету и острому углу: если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то данные треугольники равны.НаверхОсновные метрические соотношения в прямоугольном треугольникеПусть в треугольнике ABC ∠C=90∘, a=BC, b=AC – катеты, c=AB – гипотенуза, h=CH – высота к гипотенузе, a1=BH, b1=AH – проекции катетов на гипотенузу. Тогда1.a1b1=h2;2.a1c=a2;3.b1c=b2;4.a1+b1=c.НаверхТеорема ПифагораВ прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.a2+b2=c2НаверхТеорема, обратная теореме ПифагораЕсли в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник прямоугольный.a2+b2=c2⇒∠C=90∘НаверхСвойство высоты прямоугольного треугольникаВысота, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два треугольника подобных друг другу и исходному треугольнику.△ACH∽△CBH∽△ABCНаверхОписанная окружность прямоугольного треугольникаЦентром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.R=12ABНаверхВписанная окружность прямоугольного треугольникаРадиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, может быть вычислен по формулеr=a+b−c2,где a и b – катеты треугольника, c – его гипотенуза.НаверхОпределения тригонометрических функций острого угла1. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.2. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.3. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.4. Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.НаверхФункции углов, дополнящих друг друга до 90∘Значения тригонометрических функций угла равны значениям соответствующих кофункций угла, дополняющего его до 90∘.НаверхПростейшие тождества для тригонометрических функцийДля любого угла α справедливы тождества:sin2α+cos2α=1;tgα=sinαcosα;ctgα=cosαsinα;tgα⋅ctgα=1;1cos2α=1+tg2α;1sin2α=1+ctg2α.Площадь через сторону и высотуПлощадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.S=12ahНаверхПлощадь через две стороны и угол между нимиПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.S=12absinCНаверхФормула ГеронаS=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√,S=142a2b2+2b2c2+2a2c2−a4−b4−c4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√,где p=12(a+b+c) – полупериметр, a, b, c – стороны треугольникаНаверхПлощадь и вписанная окружностьПлощадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности треугольника.S=pr,где p=12(a+b+c) – полупериметр треугольникаНаверхПлощадь и описанная окружностьS=abc4R,где R – радиус описанной окружности треугольника, a, b, c – его стороныПлощадь через сторону и высотуПлощадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.S=12ahНаверхПлощадь через две стороны и угол между нимиПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.S=12absinCНаверхФормула ГеронаS=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√,S=142a2b2+2b2c2+2a2c2−a4−b4−c4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√,где p=12(a+b+c) – полупериметр, a, b, c – стороны треугольникаНаверхПлощадь и вписанная окружностьПлощадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности треугольника.S=pr,где p=12(a+b+c) – полупериметр треугольникаНаверхПлощадь и описанная окружностьS=abc4R,где R – радиус описанной окружности треугольника, a, b, c – его стороныПлощадь через сторону и высотуПлощадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.S=12ahНаверхПлощадь через две стороны и угол между нимиПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.S=12absinCНаверхФормула ГеронаS=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√,S=142a2b2+2b2c2+2a2c2−a4−b4−c4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√,где p=12(a+b+c) – полупериметр, a, b, c – стороны треугольникаНаверхПлощадь и вписанная окружностьПлощадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности треугольника.S=pr,где p=12(a+b+c) – полупериметр треугольникаНаверхПлощадь и описанная окружностьS=abc4R,где R – радиус описанной окружности треугольника, a, b, c – его стороны Теорема ЧевыПусть A1, B1, C1 – точки на прямых BC, AC и AB, содержащих стороны треугольника ABC. Прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когдаBA1A1C⋅CB1B1A⋅AC1C1B=1.НаверхТеорема МенелаяПусть A1, B1, C1 – точки на прямых BC, AC и AB, содержащих стороны треугольника ABC. Точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когдаBA1A1C⋅CB1B1A⋅AC1C1B=−1.(Отношение одинаково направленных отрезков считаем положительным, противоположно направленных – отрицательным.)Обозначенияa,b,c – длины сторон треугольника;A,B,C – величины углов треугольника;ma,mb,mc – длины медиан треугольника(на рисунке ma=AM );la,lb,lc – длины биссектрис треугольника(на рисунке la=AL );ha,hb,hc – длины высот треугольника(на рисунке ha=AH );R – радиус описанной окружности;r – радиус вписанной окружности;S – площадь треугольника;p=a+b+c2 – полупериметр треугольника;НаверхТеорема синусовasinA=bsinB=csinC=2RНаверхТеорема косинусовa2=b2+c2−2bccosAb2=a2+c2−2accosBc2=a2+b2−2abcosCНаверхКосинусы углов треугольникаcosA=b2+c2−a22bccosB=a2+c2−b22accosC=a2+b2−c22abНаверхДлины медиан треугольникаma=122b2+2c2−a2−−−−−−−−−−−√mb=122a2+2c2−b2−−−−−−−−−−−√mc=122a2+2b2−c2−−−−−−−−−−−√НаверхДлины биссектрис треугольникаla=2bcp(p−a)−−−−−−−−−√b+clb=2acp(p−b)−−−−−−−−−√a+clc=2abp(p−c)−−−−−−−−−√a+bНаверхДлины высот треугольникаha=2Sa,hb=2Sb,hc=2ScНаверхФормулы для площади треугольникаS=12aha,S=12bhb,S=12chc;S=12absinC,S=12acsinB,S=12bcsinA;S=pr;S=abc4R;S=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√ (формула Герона)НаверхРадиус описанной окружности треугольникаR=a2sinA,R=b2sinB,R=c2sinC;R=abc4SНаверхРадиус вписанной окружности треугольникаr=SpПонятие четырёхугольника и его элементыЧетырёхугольником называется фигура, состоящая из четырёх точек A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх последовательно соединяющих их отрезков AB, BC, CD, DA, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек. Данный четырёхугольник обозначается ABCD, и точки A, B, C, D называются его вершинами, а отрезки AB, BC, CD, DA – его сторонами. Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются смежными, а вершины, не принадлежщие одной стороне четырёхугольника – противоположными. Стороны, имеющие общую вершину, называются смежными сторонами, а не имеющие общих вершин – противоположными сторонами четырёхугольника. Отрезки AC и BD, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются диагоналями четырёхугольника.НаверхВыпуклый и невыпуклый четырёхугольникиЧетырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через любые две его смежные вершины. В противном случае четырёхугольник называется невыпуклым. Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внути него и пересекаются. Одна из диагоалей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а другая внутри него, и эти диагонели не пересекаются.выпуклый (слева) и невыпуклый (справа) четырёхугольникиНаверхСумма углов четырёхугольникаУглы DAB, ABC, BCD и CDA называются внутренними углами четырёхугольника ABCD (в случае невыпуклого четырёхугольника один из них больше 180∘).Сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360∘.∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360∘Развёрнутый и нулевой уголУгол называется развёрнутым, если его стороны являются дополнительными друг к другу лучами, то есть лежат на одной прямой с разных сторон от вершины угла. Если же стороны угла совпадают, то этот угол называется нулевым.Внутренняя область углаПусть точка C лежит на некотором отрезке с концами на разлиных сторонах ненулевого и не развёрнутого угла AOB. Тогда говорят, что C является внутренней точкой угла AOB. Все внутренние точки образуют внутреннюю облсать угла AOB.Нулевой угол не имеет внутренней области. Для развёрнутого угла кадую из двух областей, на которые его стороны разбивают плоскость, можно назвать внутренней. При этом должно быть указано, какая из областей считается внутренней областью развёрнутого угла.Свойство биссектрис смежных угловБиссектрисы смежных углов перпендикулярны.Плоский уголНаряду с понятием угла как фигуры, состоящей из двух лучей с общей вершиной (такой угол называюют линейным), рассматривают также понятие плоского угла. Два луча с общей вершиной разбивают плоскость на две части. Каждая из этих частей вместе с граничными лучами называется плоским углом. Говорят, что эти две части дополняют друг друга до полного угла. По крайней мере один из двух данных плоских углов является объединением линейного угла с его внутренней областью. Второй плоский угол есть объединение линейного угла с остальной частью плоскости. В первом случае говорят, что плоский угол не больше развёрнутого.Градусная мера плоского угла равна градусной мере соответствующего линейного угла, если данный плоский угол не больше развёрнутого, и дополняет эту градусную меру до 360∘ в противном случае.Аксиома параллельностиЧерез точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.Из аксиомы параллельности и признаков параллельности прямых следует теорема: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.Названия углов при двух прямых и секущейПусть прямая c пересекает каждую из прямых a и b. Образующися при этом пары углов, отмеченных на рисунке, имеют следующие названия.Признаки параллельности прямыхЕсли внутренние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.Если сумма внутренних односторонних углов при двух прямых и секущей равна 180∘, то эти две прямые параллельны.Если соответственные углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.Если внешние накрест лежащие углы при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.Если сумма внешних односторонних углов при двух прямых и секущей равна 180∘, то эти две прямые параллельны.Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны друг другу.Свойства углов при параллельных прямых и секущейВнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180∘.Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.Внешние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны.Сумма внешних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180∘.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.Определение центрального углаЦентральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах [0∘;360∘].НаверхОпределение градусной меры дуги окружностиГрадусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).AB⌣=∠AOBНаверхОпределение вписанного углаУгол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.Вписанный угол ACB опирается на дугу AB.НаверхТеорема о вписанном углеГрадусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.α=12β=12AB⌣НаверхУгол, опирающийся на диаметрУгол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.∠ACB=90∘⇔ AB – диаметрНаверхВписанные углы, опирающиеся на одну дугуВписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.∠AC1B=∠AC2BНаверхУсловие принадлежности четырёх точек одной окружностиЕсли точки C1 и C2 лежат по одну сторону от прямой AB и ∠AC1B=∠AC2B, то A, C1, C2, B лежат на одной окружности.∠AC1B=∠AC2B⇒ A, C1, C2, B лежат на одной окружностиНаверхСвойство вписанного четырёхуольникаСумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180∘.ABCD – вписанный ⇒∠A+∠C=180∘НаверхПризнак вписанного четырёхуольникаЕсли сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180∘, то этот четырёхугольник вписанный.∠A+∠C=180∘⇒ABCD – вписанныйНаверхВнешний угол вписанного четырёхуольникаВнешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине четырёхугольника.∠EDC=∠ABCНаверхУгол, образованный хордамиГрадусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.α=12(AB⌣+CD⌣)НаверхУгол, образованный касательной и хордойГрадусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.α=12AB⌣НаверхВписанный угол и угол, образованный касательной и хордойЕсли вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой, высекают на окружности одну и ту же дугу, то они равны.∠ACB=∠DABНаверхУгол с вершиной на окружностиПусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.α=12(AB⌣+BC⌣)НаверхУгол с вершиной в кругеГрадусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.α=12(дуга1 + дуга2)НаверхУгол, образованный секущимиГрадусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.α=12(AB⌣−CD⌣)НаверхУгол, образованный касательнымиГрадусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.α=12(ACB⌣−ADB⌣)НаверхУгол, образованный касательной и секущейГрадусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.α=12(AB⌣−BC⌣)НаверхПризнак касания прямой и окружностиГрадусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.α=12(AB⌣−BC⌣)НаверхУгол с вершиной вне кругаЕсли вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.α=12(дуга1 – дуга2)Общее уравнение прямой на плоскостиОбщим уравнением прямой в декартовой системе координат на плоскости называется уравнение вида Ax+By+C=0, где A≠0 или B≠0.Любое уравнение такого вида задаёт прямую, и любую прямую можно задать уравнением такого вида.Если система координат прямоугольная, то вектор n¯¯¯=(A,B) перпендикулярен данной прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой.НаверхОбщее уравнение прямой, проходящей через данную точку перепендикулярно данному векторуВ прямоугольной декартовой системе координат общее уравнение прямой l, проходящей через точку M0(x0,y0) перепендикулярно ненулевому вектору n¯¯¯=(A,B) имеет видA(x−x0)+B(y−y0)=0.НаверхКаноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим векторомВ декартовой системе координат уравнение прямой l, проходящей через точку M0(x0,y0) параллельно ненулевому вектору a¯¯¯=(a1,a2) имеет видx−x0a1=y−y0a2.Другая форма: a2(x−x0)−a1(y−y0)=0.Ненулевой вектор, параллельный данной прямой или лежащий на ней, называется направляющим вектором этой прямой.НаверхПараметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим векторомВ декартовой системе координат уравнения прямой l, проходящей через точку M0(x0,y0) параллельно ненулевому вектору a¯¯¯=(a1,a2) имеют вид{x=x0+a1t,y=y0+a2t.Точка M(x,y) лежит на прямой l тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют данной системе при некотором t∈R.НаверхУравнение прямой с угловым коэффициентомУравнение вида y=kx+b задаёт в прямоугольной декартовой системе координат прямую l, не параллельную оси ординат. Число k называется угловым коэффициентом прямой l. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой l к положительному направлению оси абсцисс. Угол наклона отсчитывают от этой оси до прямой l против часовой стрелки. Если прямая l параллельна оси абсцисс или совпадает с нею, то угол наклона считается нулевым.Коэффициент b равен ординате точки пересечения прямой l с осью ординат.k=tgα

Мы используем Cookies для улучшения работоспособности сайта, анализа использования данных. Наш сайт также использует сервис веб-аналитики Яндекс Метрика, предоставляемый ООО «ЯНДЕКС», с использованием файлов cookie для анализа пользовательской активности.
Продолжая пользоваться сайтом, Вы даете свое согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с Политикой сайта в отношении персональных данных. Вы можете запретить обработку Cookies в настройках браузера.