Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Линейная функция, ее свойства и график
Автор: Тренихина Татьяна Владимировна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Линейная функция, ее свойства и график
Автор: Тренихина Татьяна Владимировна
Линейной функцией называется функция вида В уравнении функции число называется коэффициентом наклона.Например, в уравнении функции ;в уравнении функции ;в уравнении функции ;в уравнении функции .Графиком линейной функции является прямая линия.1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :2. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:если , то график наклонен вправо если , то график наклонен влево Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вверх вдоль оси если , то график функции получается из графика функции сдвигом на единиц вниз вдоль оси На рисунке ниже изображены графики функций ; ; Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.Во всех функциях - и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)Теперь рассмотрим графики функций ; ; На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)Рассмотрим графики функций ; ; Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .Если k<0 и b>0, то график функции имеет вид:Если k>0 и b>0, то график функции имеет вид:Если k>0 и b<0, то график функции имеет вид:Если k<0 и b<0, то график функции имеет вид:Если k=0 , то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:Ординаты всех точек графика функции равны Если b=0, то график функции проходит через начало координат: Это график прямой пропорциональности.3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .Например, график уравнения выглядит так:Внимание! Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует .4. Условие параллельности двух прямых:График функции параллелен графику функции , если 5. Условие перпендикулярности двух прямых:График функции перпендикулярен графику функции , если или 6. Точки пересечения графика функции с осями координат.С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):Рассмотрим решение задач.1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство: отсюда b=-10Таким образом, нам надо построить график функции Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.Итак, уравнение прямой .3. Постройте график уравнения Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть каждого множителя. Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :4. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой и проходит через точку М(-1;2)Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:, отсюда .Следовательно, наша функция имеет вид: .5. Постройте график функции Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому , .Тогда наша функция принимает вид:То есть нам надо построить график функции и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:
