Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение �Гимназия №65 имени Н.Сафронова�
Рабочая программа
спецкурса
�Алгебра плюс: элементарная алгебра
с точки зрения высшей математики�
для 10-11 класса
Составитель:
учитель математики
МБОУ гимназия №65 г.Ульяновска
Благова Наталья Александровна
�
�
Ульяновск 2023
Пояснительная записка.
Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной математической направленностью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, которая позволяет с одной стороны обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.
Рабочая программа спецкурса отвечает требованиям обучения на старшей ступени, направлена на реализацию личностно ориентированного обучения, основана на деятельностном подходе к обучению, предусматривает овладение учащимися способами деятельности, методами и приемами решения математических задач. Включение уравнений и неравенств нестандартных типов, комбинированных уравнений и неравенств, текстовых задач разных типов, рассмотрение методов и приемов их решений отвечают назначению курса – расширению и углублению содержания курса математики с целью подготовки учащихся 11 класса к государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ.
Структура курса представляет собой шесть логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников.
Основной целью изучения курса является:
1. Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.
2. Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.
3. Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.
4. Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.
Задачи курса:
реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей школьников по математике;
формирование устойчивого интереса учащихся к предмету;
выявление и развитие их математических способностей;
обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач и уравнений;
развитие умений самостоятельно анализировать� и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
формирование и развитие� аналитического и� логического мышления.
расширение математического представления учащихся по определённым темам, включённым в программы вступительных экзаменов в высшие учебные заведения;
развитие коммуникативных и общеучебных� навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы.
Общая характеристика курса.
Спецкурс �Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики�� систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области элементарной алгебры. Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, функций, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.
Место предмета в учебном плане.
Спецкурс �Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики� относится к образовательной области �Математика�. Согласно учебному плану программа курса для 11-го класса предусматривает обучение курсу �Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики� в объёме 1 час в неделю, всего 34 часа в год. Программа курса составлена на два года для изучения в 10 и 11 классе и курса рассчитана на 68 часов, 1 час в неделю.
Основными формами обучения являются теоретическая, практическая, которые носят обучающий характер.
Требования к уровню подготовки учащихся
Образовательные результаты
Предметные знания.
Алгебраические задачи: уравнения, неравенства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач. Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существования и всеобщности, кванторы. Логические задачи с параметрами. Координатная интерпретация задач с параметрами. Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета. Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля. Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов. Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координатная интерпретация. Метод областей. Уравнения и системы с несколькими переменными. Основные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограниченности, оценок и монотонности. Системы с тремя переменными — основные методы. Алгебраические задачи с параметрами.
Предметные умения:
умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);
умение использовать основные методы при решении алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены, разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симметрии, однородности, оценок, монотонности; - умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.
Общеинтеллектуальные умения:
умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное, достоверное в той или иной информации;
владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;
умение конструктивно подходить к предлагаемым заданиям;
умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.
Общекультурные компетенции:
понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;
понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;
восприятие математики как развивающейся фундаментальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во взаимосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.
Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум,� консультация. Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть - дома самостоятельно. Изучение данного курса заканчивается проведением либо итоговой контрольной работы, либо теста.
Структура курса.
Тема 1. Логика алгебраических задач.
Элементарные задачи как предложение с переменными. Следование и равносильность задач. Уравнение с переменными. Алгебраические задачи с параметрами. Логические задачи с параметрами.
Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствие из теоремы Безу. Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета. Элементы перечислительной комбинаторики. Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение. Квадратные неравенства. Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано. Графический анализ кубического уравнения. Уравнение степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Тема 3. Рациональные и алгебраические уравнения и неравенства.
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены. Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства. Неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
Тема 4. Рациональные алгебраические системы.
Уравнение с несколькими переменными. Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем. Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. Метод разложения при решении систем уравнений. Системы с тремя переменными. Системы Виета с тремя переменными.
Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи.
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами Сведение рациональных и иррациональных уравнений к системам. Иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
Тема 6. Алгебраические задачи с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Иррациональные задачи с параметрами. Задачи с модулями и параметром. Метод интервалов в неравенствах с параметрами. Системы с параметрами. Метод координат в задачах с параметрами. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Ожидаемый результат изучения курса.
В результате изучения курса учащиеся должны: уверенно решать указанные в программе курса вида уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств; решать текстовые задачи различного уровня сложности; уметь решать нестандартные задачи, связанные с параметрами и модулями, с� графическим способом решения уравнений и неравенств, с применением производной.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; иметь наглядные представления об основных свойствах функции, иллюстрировать их с помощью графических изображений; изображать графики функций, описывать свойства функций, уметь использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений; применять производную функции при анализе и решении задач.
Учебно-методический комплект:
Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.- 118с.
Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.- 319с.
Дополнительная литература.
Земляков А.Н. �Алгебра плюс: элементарна алгебра с точки зрения высшей математики�. – М.: �Вита-Пресс�, 2004.
Семёнов А.В., Юрченко Е.В. Система подготовки к ЕГЭ по математике. Лекция 1-8.//Математика. 1 сентября. - № 17-24, 2008.
Кагалов Э.Д. 400 самых интересных задач с решениями по школьному курсу математики для 10-11 классов. - М.: ЮНВЕС, 1998.-288 с.
Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Д. А. Аверьянов, П. И. Алтынов, И. И. Баврин и др. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 864 с.
Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: учебно-методическое пособие. - 2-е изд., доп. и перераб. - М: ООО �Издательский дом �ОНИКС 21 век�, ООО �Издательство �Мир и образование�, 2005. – 336 с.
Шабунин М. Математика для поступающих в вузы. - М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. - 640 с.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1992. – 335 с.
П.И. Алтынов. Математика. 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы. М.: �Дрофа�, 2012.
М.Л.Галицкий, М.М Мошкович, С.И. Шварцбурд., �Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа�, Москва, �Просвещение�, 2001г.
Шарыгин И.Ф. �Факультативный курс по математике. Решение задач�, 10 кл. Москва, �Просвещение�, 2005г.
Шарыгин И.Ф. �Факультативный курс по математике. Решение задач�, 11 кл. Москва, �Просвещение�, 2005 г.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами, Москва-Харьков �Илекса�, �Гимназия�, 2007 г.327с.
Тематическое планирование.
Дата
№ занятия
Тема урока
Цели
Тема 1. Логика алгебраических задач (8ч)
1
Элементарные задачи как предложение с переменными. Следование и равносильность задач.
Формировать понятие следование и равносильность задач.
2
Элементарные задачи как предложение с переменными. Следование и равносильность задач.
Формировать умения и навыки использования понятий следование и равносильность.
3
Уравнение с переменными
Формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.
4
Уравнение с переменными.
Продолжать формировать умения и навыки решения уравнения с переменными.
5
Алгебраические задачи с параметрами.
Формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.
6
Алгебраические задачи с параметрами.
Продолжать формировать умения и навыки решения алгебраических задач с параметрами.
7
Логические задачи с параметрами.
Формировать умения и навыки решения логических� задач с параметрами.
8
Логические задачи с параметрами.
Продолжать формировать умения и навыки решения логических задач с параметрами.
Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические� уравнения (16ч)
9
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствие из теоремы Безу.
Формировать понятие теорема Безу и следствия из нее.
10
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствие из теоремы Безу.
Формирование навыков и умений использования теоремы Безу и следствия из нее при решении задач.
11
Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.
Формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов.
12
Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.
Продолжать формировать умения и навыки решения полностью разложимых многочленов.
13
Элементы перечислительной комбинаторики.
Формировать понятие элементы перечислительной комбинаторики.
14
Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение.
Формировать понятие квадратный трехчлен : линейная замена, график, корни, разложение.
15
Квадратные неравенства. Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени.
Формировать умения и навыки решения квадратных неравенств.
16
Квадратные неравенства. Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени.
Продолжать формировать решения квадратных неравенств.
17
Квадратные неравенства. Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени.
Продолжать формировать решения квадратных неравенств.
18
Куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано.
Формировать понятие куб суммы/разности, линейная замена.
19
Куб суммы/разности. Линейная замена. Формула Кардано.
Формирование навыков и умений использования понятий куб суммы / разности, использования линейной замены при решении задач
20
Графический анализ кубического уравнения.
Формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.
21
Графический анализ кубического уравнения.
Продолжать формировать умения и навыки проводить графический анализ кубического уравнения.
22
Уравнение степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.
23
Уравнение степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.
24
Уравнение степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Продолжать формировать умения и навыки решения уравнение степени 4.
Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7ч)
25
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
Формировать понятие рациональных алгебраических выражений. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
26
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражений. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
27
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
Продолжать формировать понятие рациональных алгебраических выражений. Симметрические, кососимметрические и возрастные многочлены.
28
Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
Формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
29
Дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
Продолжать формировать умения и навыки решения дробно-рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
30
Неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
Формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
31
Неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
Продолжать формировать умения и навыки решения неравенства с двумя переменными. Множество решений на координатной плоскости.
Тема 4. Рациональные алгебраические системы (14ч)
32
Уравнение с несколькими переменными.
Формировать умения и навыки решения уравнение с несколькими переменными.
33
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.
34
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Продолжать формировать умения и навыки решения рациональных алгебраических систем.
35
Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений.
Формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.
36
Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах уравнений.
Продолжать формировать умения и навыки решения однородных алгебраических систем.
37
Симметрические выражения от двух переменных.
Формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
38
Симметрические выражения от двух переменных.
Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
39
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.
Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
40
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.
Продолжать формировать умения и навыки решения симметрические выражения от двух переменных.
41
Метод разложения при решении систем уравнений.
Формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений .
42
Метод разложения при решении систем уравнений.
Продолжать формировать умения и навыки решения методом разложения при решении систем уравнений.
43
Системы с тремя переменными.
Формировать умения и навыки решения системы с тремя переменными.
44
Системы с тремя переменными.
Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными.
45
Системы Виета с тремя переменными.
Продолжать формировать умения решения системы с тремя переменными.
Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи (11ч)
46
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Формировать умения и навыки решения иррациональных алгебраических уравнений.
47
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Продолжать формировать умения решения иррациональных алгебраических уравнений.
48
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
Формировать умения и навыки решения уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
49
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
Продолжать формировать умения решения уравнения с квадратными радикалами.
50
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Формировать понятие неэквивалентные преобразования.
51
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.
Формировать понятие метод эквивалентных преобразований
52
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.
Формировать понятие метод эквивалентных преобразований
53
Сведение рациональных и иррациональных уравнений к системам.
Формировать умения и навыки сведение рациональных и иррациональных уравнений к системам.
54
Сведение рациональных и иррациональных уравнений к системам.
Продолжать формировать умения и навыки сведение рациональных и иррациональных уравнений к системам.
55
Иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
Формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
56
Иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
Продолжать формировать умения и навыки решать иррациональные алгебраические неравенства. Дробно-иррациональные неравенства.
Тема 6. Алгебраические задачи с параметрами (8ч)
57
Рациональные задачи с параметрами.
Формировать умения и навыки решать рациональные задачи с параметрами.
58
Иррациональные задачи с параметрами.
Формировать умения и навыки решать иррациональные задачи с параметрами.
59
Иррациональные задачи с параметрами.
Формировать умения и навыки решать иррациональные задачи с параметрами.
60
Задачи с модулями и параметром.
Формировать умения и навыки решать задачи с модулями и параметром.
61
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Формировать умения и навыки решать неравенства с параметрами.
62
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Формировать умения и навыки решать неравенства с параметрами.
63
Системы с параметрами.
Формировать умения и навыки решать системы с параметрами.
64
Метод координат в задачах с параметрами.
Формировать понятие метода координат.
65
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами.
66
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Продолжать формировать умения и навыки применения производной при анализе и решении задач с параметрами.
67
Итоговое повторение
Повторение пройденного материла
68
Итоговое повторение
Повторение пройденного материла