Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Комбинация шара с многогранниками
Автор: Чумичева Людмила Владимировна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Комбинация шара с многогранниками
Автор: Чумичева Людмила Владимировна
Управление образованияАдминистрации Сергиево-Посадского районаМуниципальное общеобразовательное учреждение«Физико-математический лицей»Методическая разработкапо теме «Комбинация шара с многогранниками» Учитель: Чумичева Л.В.2016-2017 учебный годЗадачи по стереометрии на комбинацию сфер (шаров) с другими геометрическими объектами традиционно являются одними из самых сложных и интересных одновременно. Разнообразие вариантов взаимного расположения, трудности геометрического представления и изображения делают эту тему популярной на вступительных экзаменах в ведущие вузы России и ЕГЭ. При решении таких задач важно провести методически грамотный анализ конфигурации, правильно понять условия взаимного расположения сферы (шара) и геометрических объектов, иметь хорошее геометрическое воображение. Как правило, только в этом случае удается сложную пространственную задачу разложить на элементы и решить.СФЕРА, ОПИСАННАЯ ОКОЛО МНОГОГРАННИКА.Сфера называется описанной около многогранника, если она содержит все вершины этого многогранника. Сам многогранник называется вписанным в сферу. Если около многогранника можно описать сферу, то около каждой его грани можно описать окружность. Эта окружность является пересечением описанной сферы и плоскости грани многогранника. Таким образом, то что около граней многогранника можно описать окружности является необходимым условием для того, чтобы около многогранника можно было описать сферу. В некоторых случаях это условие является и достаточным. Так, например, около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центрыокружностей, описанных около оснований призмы.Радиус сферы R вычисляется по формуле где h – высота призмы, r – радиус окружности, описанной около основанияпризмы.Теорема 1. (О существовании описанной сферы) В произвольной треугольной пирамиде серединные перпендикулярные плоскости всех ребер имеют единственную общую точку, равноудаленную от всех вершин пирамиды. Общая точка является центром сферы, описанной около треугольной пирамиды. СФЕРА, ПОЛУВПИСАННАЯ В МНОГОГРАННИК.Сфера называется полувписанной в многогранник, если она касается всех его ребер. Центром полувписанной сферы является точка, равноудаленная от всех ребер многогранника. Ясно, что если у многогранника существует полувписанная сфера, то в каждую его грань можно вписать окружность. Причем, окружности, вписанные в соседние грани касаются общего ребра в одной и той же точке. Рассмотрим еще один многогранник – ромбододекаэдр. Его гранями являются двенадцать ромбов. Для получения ромбододекаэдра возьмем два одинаковых куба. Разобьем один из них на шесть равных 4-х угольных пирамид с вершинами в центре куба. Приложим эти пирамиды основаниями к граням второго куба. Образовавшийся многогранник будет ромбододекаэдром.СФЕРА, ВПИСАННАЯ В МНОГОГРАННИК.Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается плоскостей всех его граней. Сам многогранник называется описанным около сферы.В прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в основание этой призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Напомним, что радиус r окружности, вписанный в многоугольник, находится по формуле , где S – площадь, p – полупериметр многоугольника.Сферу можно вписать в правильные многогранники: а) тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр; правильные n-угольные пирамиды и другие многогранники.Общие замечания о положении центра шара.1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.Комбинация шара с призмой.1. Шар, вписанный в прямую призму.Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.2. Шар, описанный около призмы.Теорема 2. Шар можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.Следствие 1. Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного около основания.Следствие 2. Шар, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусов.Задача №1: Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны а и в. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда. Дано: АВСDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед, в него вписан шар. АС = а, ВD = в.Найти: Решение: - Какой вывод можно сделать из того, что в параллелепипед вписан шар?(В основание можно вписать окружность, и высота параллелепипеда равна диаметру вписанного в него шара.т.к. в призму вписан шар, то в основания можно вписать окружность, тогда ABCD – ромб.)- Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда?- А чему равна площадь ромба, если известны его диагонали?(Половине произведения диагоналей)- А чему равна CC1, если известно, что в параллелепипед вписан шар?(диаметру вписанного в него шара)- Давайте, изобразим радиус вписанной в основание окружности. Он будет равен радиусу шара, вписанного в параллелепипед. Значит CC1=2ОН.А чему равно произведение DC·2OH относительно основания?(Площади основания)- Подставив полученные значения в формулу из пункта, получим:Sп.п. = 3ab.Комбинация шара с пирамидой.1. Шар, описанный около пирамиды.Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность.Следствие 1. Центр шара, описанного около пирамиды лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равно наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар. Центр этого шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.Следствие 3. Шар, в частности, можно описать: около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180 градусов.2. Шар, вписанный в пирамиду.Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.Следствие 1. Центр шара, вписанного в пирамиду, у которой боковые грани одинаково наклонены к основанию, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, стороной которого служит высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.Следствие 2. В правильную пирамиду можно вписать шар. Комбинация шара с усеченной пирамидой.1. Шар, описанный около правильной усеченной пирамиды.Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар. (Это условие является достаточным, но не является необходимым)2. Шар, вписанный в правильную усеченную пирамиду.Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований. Задача №1: Все ребра треугольной пирамиды равны. Найти отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ее высоте. Дано: SABC – пирамида, все ребра которой равны; сфера, вписанная в пирамиду. Найти: Ответ: Решение задач, которые можно использовать и для решения в классе, так и для самостоятельной работы.1. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.Решение.Пусть MH — высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, MA=10, MH=6, откуда Треугольник ABH равносторонний, следовательно, AB=AH=8. В треугольнике AMB высота. В правильном треугольнике AHB высота. Центр O сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому где r — радиус сферы. Площадь сферы Ответ: . Укажем другой путь нахождения радиуса.Объем пирамиды равен .Площадь полной поверхности пирамиды равна Тогда 2. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно , а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.Решение.Пусть MH— высота правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF с вершиной M, тогда треугольник AMH прямоугольный, , откуда Треугольник ABH равносторонний, следовательно, AB=AH=2. В треугольнике AMB высота В правильном треугольнике AHB высота Центр сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому где — радиус сферы.Площадь сферы Ответ: 3. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.Решение.Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике AMB высота В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому где — радиус сферы.Площадь сферы Ответ: 4. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.Решение.Пусть — высота правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник — прямоугольный, откудаТреугольник — прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике высота В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота Центр сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому где — радиус сферы.Площадь сферы Ответ: 5. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АВ = 5 см и ВС = 12 см Боковое ребро SB перпендикулярно основанию и равно 8 см. Найти радиус вписанной сферы.Решение. Опустим высоты ВН и SH в треугольниках АВС и ASC соответственно. В прямоугольном треугольнике BHS Отрезок ВН является высотой в прямоугольном треугольнике АВС и равен . Таким образом, Объем пирамиды Площадь полной поверхности пирамиды равна , где , , откуда и Ответ. 6. В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанной в пирамиду сферы и описанной около пирамиды сферы совпадают. Определить величину угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.Решение. Пусть О – центр сферы вписанной в пирамиду и описанной околопирамиды SABCD сферы. Построив сечение пирамиды и описанной сферы плоскостью SAC (А и С – противоположные вершины квадрата); пусть SO = R – радиус описанной сферы, ОО1 = r – радиус вписанной сферы и АВ = а ( АС = а ) как диагональ квадрата ABCD, лежащего в основании пирамиды. Поскольку сечением описанной сферы плоскостью SAC является круг, центр которого совпадает с центром сферы, то из равенства по свойству хорд, проведенных в круге , гдеS1 – точка пересечения прямой SO с описанной сферой, имеем , так как Теперь построим сечение KSL пирамиды плоскостью, проходящей через высоту SO1 пирамиды и середины сторон АВ и CD квадрата ABCD. Эта плоскость пересечет вписанную сферу по большому кругу; пусть , тогда (центр вписанного круга в треугольник KSL лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов этого треугольника).Так как то можем составить ещё два уравнения и Исключая из системы уравнений R, r и a, получим тригонометрическое уравнение =0. Решив это уравнение, найдем , Ответ. 7. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, относится к стороне основания, как 3:4. Найти величину угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.Решение. Пусть а – длина стороны квадрата, лежащего в основании пирамиды, h –длина высоты пирамиды и R – радиус описанной сферы.Если построить сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через боковое ребро и высоту пирамиды, то из равенства; Можно получить уравнение , , где Квадратное уравнение имеет два корня : Обозначив угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания через φ, получим Получили два значения φ:Ответ.
