Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Практическая работа «Применение формул сложения»
Автор: Нелюбина Елена Анатольевна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Практическая работа «Применение формул сложения»
Автор: Нелюбина Елена Анатольевна
Практическая работа № 8 «Применение формул сложения»Цель работы:научиться применять тригонометрические формулы при решении различных типов задач; развивать логическое мышление студентов при использовании тригонометрических формул; совершенствовать навыки владения студентами умением четко и грамотно формулировать вывод, оформлять свое решение. Перевод градусной меры угла в радианную и обратно. Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы: , .Четность и нечетность тригонометрических функцийФункция F(x) называется четной, если F(-x)=F(x). Функция F(x) называется нечетной, если F(-x)=-F(x). Функция F(x) называется ни четной, ни нечетной во всех остальных случаях.sin α, tg α, ctg α. - функции нечетные, поэтому sin(- α) = - sin α tg(- α) = - tg α; ctg(- α) = - ctg α; cos α - функции четные, следовательно, cos(- α) = cos α.Формулы приведенияВычисление значений тригонометрических функций любого угла сводится к вычислению значений тригонометрических функций острого угла по следующим правилам: Некоторые значения тригонометрических функцийВыражение sinα, cosα, tgα через tg(α/2)Основные тригонометрические тождестваТригонометрические функции суммы и разности угловТригонометрические функции двойных, тройных и половинных угловВ формулах половинного угла знаки перед радикалами берутся в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства. Каждая из формул для тангенса и котангенса справедлива только при условии, что все входящие в нее значения функций существуют. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение (преобразование тригонометрических выражений к виду, удобному для логарифмирования). Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Правая и левая части каждой формулы, в которую входят тангенсы и (или) котангенсы, должны существовать одновременно. Простейшие соотношения между обратными тригонометрическими функциями. Пример 1.Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.Решение. Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .Так как по условию задачи cosα = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .Ответ: . Пример 2.Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.РешениеВоспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α * ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1, откуда tg α = 5.Ответ: 5.Пример 3.Упростите выражения:1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) .Решение. Данные задания — на применение формул сложения.1) . Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .2) .3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда .4) .5) Применим формулу «тангенс суммы», получим .6) . Ответ: .Пример 4.Вычислите:1) ;2) ;3) ;4) ;5) .Решение1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда . 2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: .3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º . Следовательно, . Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: .4) . Окончательно получаем, что .5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º ). Тогда . Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно, Ответ: .Пример 5. Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .РешениеВыпишем формулы для вычисления искомых функций:Из основного тригонометрического тождества вычислим: Далее найдем значения искомых выражений:Ответ: Пример 6.Доказать тождество . Решение. Приведем левую часть к 1:.Тождество доказано.Пример 7.Вычислить значение выражения:.РешениеОбратим внимание, что Далее, используя формулы приведения получим: Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций: Итак, значение выражения равно 0.Ответ: 0.Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:.Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — угломα, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.Пример 8 .Вычислить cos(4arctg 5).РешениеПусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку: Тогда получаем, что: Ответ: Пример 9.Выразить через все обратные функции Решение. Пусть . Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.Найдем все тригонометрические функции угла:В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что .Но , так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинусаcos (-α) = cos α, при этом , то есть , тогда .Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, , следовательно, . Таким образом, угол α выражен через все обратные функции. Ответ: Пример 10.Найти arcsin (sin 12).РешениеПо условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку . Заметим, что , поэтому .Поскольку , угол 12º - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.Ответ: arcsin (sin12) = 12º - 4π.Задания для самостоятельного решения (см. Приложения)Критерии оценивания работы:«5» - верно решено 5 заданий, «4» - верно решено 4 задания, «3» верно решено – 3 задания, «2» - верно решено 2 и менее заданий.Критерии оценивания работы:«5» - верно решено 5 заданий, «4» - верно решено 4 задания, «3» верно решено – 3 задания, «2» - верно решено 2 и менее заданий
