Задача 17 (ЕГЭ математикаиУравнение в целых числах.7х+5у=1200х;у —целые числа.Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами).Диофантовые уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. уИсторическая справка:Диофнт Александрйский -древнегреческийматематик, живший предположительно вIII векен.э. Нередко упоминается как ©отецалгебрыª. Автор ©Арифметикиª—книги, посвящённой нахождению положительныхрациональныхрешенийнеопределённых уравнений. Диофант был первымгреческимматематиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитуюматематическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.В честь Диофанта названкратерна видимой стороне Луны.Методы решения:1.Способпереборавариантов.2.АлгоритмЕвклида.3.Цепныедроби.4.Методразложениянамножители.5.Решениеуравненийвцелыхчислахкакквадратныхотносительнокакой-либопеременной.6.Методостатков.7.Методбесконечногоспуска.Метод полного перебора всех возможных значений переменных.Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения: 49x + 51y = 602. Решение. Выразим из уравнения переменную x через y, x = (602−51y)/ 49 , так как x и y –натуральные числа, то x = (602−51y) /49 ≥ 1, 602 − 51y ≥ 49, 51y ≤ 553, 1 ≤ 1043/51. Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются x = 5, y = 7.Ответ: (5; 7). Метод бесконечного (непрерывногои спускаМетодом бесконечного спуска называют рассуждения, проходящие по следующей схеме: предположив, что у задачи есть решения, строим некоторый бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём-то закончиться.Пример 2. Решить уравнение 5x + 8y = 39 в целых числах. Алгоритм Евклида.Алгоритм Евклида состоит в следующем: пусть а, в –целые числа (в≠ 0). Делим ана в, находим частное q(1)и остаток r(1); если r(1)≠0, то делим вна r(1), находим частное q(2)и остаток r(2); если r(2)≠0, то продолжаем аналогичное деление. Этот процесс продолжается до тех пор, пока какой-тоr(n-1)разделится нацело на ненулевой остаток r(n).Число nв этом случае называется длиной алгоритма Евклида для чисел аи в.Пример 3. Решить диофантовоуравнение 8x + 3y = 2. Решение. 8 /3 ⇒8 = 3 · 2 + 2, 3 = 2 · 1 + 1. ⇒1 = 3 − 2 · 1 = 3 − (8 + 3 · 2) = 3 · 3 − 8 · 1. 8 · (−1) + 3 · 3 = 1; 8 · (−2) + 3 · 6 = 2; следовательно, x0= −2, y0= 6 ቊx=−2+3t,y=6−8t, t∈Z. Ответ: (−2 + 3t, 6 − 8t), t ∈Z. Простой способ, основанный на алгоритме Евклида.Пример 4.7х+5у=1200Решение: пусть а=7, в=5. Составим разность а –в =7 –5 =2, затем продолжим вычитания до тех пор пока не получим разность, равную 1.5 –2=3=в –(а –в)= 2в –а 3 –2 =1=2в –а –(а –в)= 3в –2аТаким образом, -2а +3в=1. Умножим уравнение на 1200: -2400а+3600в=1200х0= -2400 и у0=3600 –частные решения уравнения.ቊх=−2400+5ку=3600−7к,к∈�–общее решение уравнения.Уменьшим коэффициенты х0 и у0. Пусть к=480, тогда൜х=0+5ку=240−7к,к∈�Исходя из условия задачи: 0≤х≤100,0≤у≤300,получим пары чисел (0;240) (5;233) (10; 226) ….(100;100). Из них выберем единственную пару, являющуюся решением задачи. Задачи ЕГЭ, где используются диофантовыеуравнения.19.Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.а) Может ли в результате получиться 0?б) Может ли в результате получиться 1?в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?19. ЧислоSтаково, что для любого представленияSв виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.а) Может ли числоSбыть равным 34?б) Может ли числоSбыть больше33?в) Найдите максимально возможное значениеS.Список литературы:1.Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы / Н.Я. Виленкин, И.Я. Депман. –М.: Просвещение, 1989. –287 с.2.Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовыуравнения / И.Г. Башмакова. –М.: Наука, 1972. –68 с. 3.Гильфорд, А.О. Решение уравнений в целых числах / А.О. Гильфорд. –М.: Наука, 1983. –64 с. 4.Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин. –М.: Наука, 1978. –111 с.5.