Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: "Множества".
Автор: Уткина Елена Викторовна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: "Множества".
Автор: Уткина Елена Викторовна
ЕН.01. Математика. Урок № 1-2. 2 курс. Группа Дата
План – конспект занятий: Множества. Операции над множествами
Цели:
Обучающая:ознакомить обучающихся с понятиями множество, элемент множества, подмножество, пересечение, объединение множеств; научить определять число элементов множества;учить определять принадлежность элементов множеству и его подмножеству.
Развивающая: развивать логическое мышление, внимания, воображение, умение анализировать, сравнивать, обобщать.
Воспитывающая:воспитывать интерес у учащихся к предмету, коммуникативные навыки.
Тип урока: изучение нового материала с первичным закреплением
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки
Ход урока
Организационный этап.
Этап получения новых знаний.
Как мы можно разделить нижеследующие объекты по группам? А чтобы ответить на этот вопрос, давайте для начала отгадаем загадки.
Он любит мёд
Зимой он спит
Весной хороший аппетит! Это медведь.
Крепко сбит да невысок,
На носу – крепкий рог,
Кто его дразнить посмеет –
Того он на свой рог подденет. Носорог
Он один сидит на ветке,
Зорок глаз и когти цепки,
Всех в два счёта б поборол,
Потому что он - ... орёл.
Гнездо свое он в поле вьет,
Где тянутся растения.
Его и песни и полет
Вошли в стихотворения! Это жаворонок.
Симпатичен, сер, усат,
Его хвостик полосат.
Пищу грязной не грызёт —
Моет всё в воде ... енот.
Днём спит, ночью летает,
Ухает, людей пугает.
В темноте горят глаза –
Всем мышам она гроза. Это Сова.
Он хвостатый и усатый,
И, конечно, полосатый.
- Рррр, — рычит, — мне не до игр.
Кто же это, дети? … тигр.
Эта птица всем знакома -
Важно ходит возле дома
Кар-Кар-Кар вдруг закричит,
И спокойно улетит. Ворона.
Он других не обижает.
Ест траву, в лесу гуляет,
Но ветвистыми рогами
Может справиться с волками! Это олень.
Как мы можем разделить эти объекты? По общему признаку. В одной группе будут находиться животные, а в другой - птицы.
А теперь посмотрите – из первых букв можно сложить слово. Какое? Слово "Множество".
Под множеством понимают объединение объектов на основе каких-то общих свойств или признаков.
Чтобы узнать принадлежит объект данному множеству или нет, достаточно выделить характерный признак, по которому точно можно определить, что этот объект можно включить в данное множество. Другой же предмет, у которого этот признак отсутствует, включать в это множество нельзя.
Глядя на две наши группы, можно сказать, что у нас есть два множества: множество животных и множество птиц.
Какие объекты входят в эти множества?
В первое множество входят: медведь, енот, олень, носорог, тигр. Пять элементов.
Во второе множество: орёл, жаворонок, сова, ворона. Четыре элемента.
Объекты, которые принадлежат множеству, называются элементами множества.
Во множестве может быть любое количество элементов, даже один элемент. Может быть бесконечно большое число элементов, например, множество чисел. А также может быть и такое, что во множестве не будет ни одного элемента. Такое множество называется пустым.
Понятие множества
Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не имеет точного определения и, как правило, объясняется с помощью примеров.
Дадим следующее интуитивное определение понятия множества:
Множество– определенная совокупность объектов.
Объекты, из которых состоит множество, называютсяэлементами множества.
Множества могут быть самыми разными: детей, гуляющих в парке, множество сказок Пушкина, множество учащихся, занимающихся танцами, множество страниц в книге,множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество студентов группы и т. д.
Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С,D,X,Y…, элементы множества строчными латинскими буквами –a,b,c,d,x,y…
Для обозначения того, что объектxявляется элементом множестваA, используют символику:xА (читается:xпринадлежит А ), записьxА обозначает, что объектxне является элементом множестваA(читается:xне принадлежит А).
Множество не содержащее ни одного элемента называетсяпустым(обозначается: ).
Множества из элементов которого составляем конкретное множество называетсяуниверсальным(обозначается:U).
ПРИМЕР
U– множество людей на земле, А – студенты группы НО-17.
Задания.
Способы задания множеств
Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:
1)Перечислением всех элементовмножества в фигурных скобках.
ПРИМЕРA= {Оля, Маша, Саша}
2)Характеристическим предикатом,который описывает свойство всех элементов, входящих в множество. Характеристический предикат записывается после двоеточия или символа | .
ПРИМЕР
Р(x) =xNx< 8 -характеристический предикат.
M= {x: Р(x)} илиM= {x:xNx< 8}.
МножествоMможно задать и перечислением его элементов:
M= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ПРИМЕР
В = {x|x-четное натуральное число} = {2, 4, 6, 8, …}
Если множество состоит из небольшого количества элементов, то его удобно задавать перечислением всех элементов, если же элементов много или множество имеет бесконечное число элементов, то оно задается с помощью характеристического предиката.
Из курса школы известны следующиечисловые множества:
N– множество натуральных чисел,
N={1, 2, 3, 4,…};
Z– множество целых чисел,
Z= {…, – 3,– 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…};
Q–множество рациональных чисел,
Rили(–;)–множество действительных (вещественных) чисел;
I–множество иррациональных чисел,
Операции над множествами
1)Сравнение множеств
Множество А называетсяподмножествоммножества В, если все элементы множества А содержатся во множестве В.
Два множества называютсяравными,если они содержат одинаковые наборы элементов.
#Пустое множество является подмножеством всех множеств.
#Универсальное множествоUсодержит все множества.
#Если, то В надмножество А.
ПРИМЕР
А={0, 1, 2, 3}, В={0, 1},.
2)Объединением двух множествназывается множество, содержащее все элементы обоих множеств.
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я},
.
3)Пересечением двух множествназывается множество, состоящее из общих элементов обоих множеств.
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я}, ={К, Т, Я}.
4) Разностью множествА и Вназывается множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В.
Пример. ЕслиА={1;2;3;4},В={1;2}, то А/В={3;4};
ЕслиА= {1;2;3},В={3;4;5;6}, тоА/В={1;2};
ЕслиА={1;2;5},В={3;4}, тоА/В={1;2;5};
Множества можно изображать с помощью кругов, которые называютсякругами Эйлераилидиаграммами Венна,универсальное множество принято обозначать прямоугольником.
ПРИМЕР
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я}, А \ В={A}, В \ А ={О, С}.
5) Симметрической разностью множествА и Вназывается множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В и всех элементов множества В не содержащихся в А.
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я}, А Δ В={A,О,С}.
6)Дополнением(дополнением до универсального множества)множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества не содержащихся в А.
7)Прямым или декартовым произведением множествAиB, называется множество всех упорядоченных пар (a,b), где первый элементaиз множестваA,а второй элементbиз множестваB.
ПРИМЕР
,
Степенью множестваназывается декартовое произведение множестваAсамо на себяnраз.
ПРИМЕР
,.
Свойства операций над множествами
1)Коммутативность.
2)Ассоциативность.
3)Дистрибутивность.
3. Задания для самостоятельного решения по теме:
1.НайдитеАВ, АВ, если
1)А={3;4;5},В={3;5;6};
2)А={0;1;7;8},В={-7;0;6;9};
3)А={1;3;5;7},В={2;4;6;8};
4)А={1;2;3},В={-1;0;1;2;3}.
2 . Найдите дополнения множестваАдо множестваВ, если
1) А={1;2;3}, В={0;1;2;3;5};
2) А={1;2;3}, В={;0;1;2;3;4};
3) А={0;1}, В={-1;0;1;-2}.
3. Найдите множестваАВ, АВ, А/В, АС, АС, ВС, ВС, если
А={-4;-3;-2;-1;0;1;2}, В={4;3;2;1;0;-1;-2}, С={-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}.
4.Рефлексия.
Математику мы на слух воспринимать не можем, нам нужно обязательно увидеть, как решается задача или пример. А понимаем и усваиваем её только тогда, когда решаем задания сами. Поэтому попробуйте закончить предложениекитайской мудрости:
Я слышу -я забываю,я вижу -я запоминаю,я делаю - …(я усваиваю).
5.Домашнее задание. Выучить конспект
Вопросы для самопроверки по теме:
1.Что такое множество?
2. Способы задания множества.
3. Перечислить операции над множествами.
4.Перечислить свойства операций над множествами.
Выполнить задания.
1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.
2. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.
3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.
Найдите (А∩В)∩С;
Разработка занятия по теме: Множества. Операции над множествами
2 курс. Дисциплина ЕН.01. Математика
Разработчик: преподаватель математики
Бурбиева Надире Абдураимовна
План – конспект занятий: Множества. Операции над множествами
Цели:
Обучающая:ознакомить обучающихся с понятиями множество, элемент множества, подмножество, пересечение, объединение множеств; научить определять число элементов множества;учить определять принадлежность элементов множеству и его подмножеству.
Развивающая: развивать логическое мышление, внимания, воображение, умение анализировать, сравнивать, обобщать.
Воспитывающая:воспитывать интерес у учащихся к предмету, коммуникативные навыки.
Тип урока: изучение нового материала с первичным закреплением
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки
Ход урока
Организационный этап.
Этап получения новых знаний.
Как мы можно разделить нижеследующие объекты по группам? А чтобы ответить на этот вопрос, давайте для начала отгадаем загадки.
Он любит мёд
Зимой он спит
Весной хороший аппетит! Это медведь.
Крепко сбит да невысок,
На носу – крепкий рог,
Кто его дразнить посмеет –
Того он на свой рог подденет. Носорог
Он один сидит на ветке,
Зорок глаз и когти цепки,
Всех в два счёта б поборол,
Потому что он - ... орёл.
Гнездо свое он в поле вьет,
Где тянутся растения.
Его и песни и полет
Вошли в стихотворения! Это жаворонок.
Симпатичен, сер, усат,
Его хвостик полосат.
Пищу грязной не грызёт —
Моет всё в воде ... енот.
Днём спит, ночью летает,
Ухает, людей пугает.
В темноте горят глаза –
Всем мышам она гроза. Это Сова.
Он хвостатый и усатый,
И, конечно, полосатый.
- Рррр, — рычит, — мне не до игр.
Кто же это, дети? … тигр.
Эта птица всем знакома -
Важно ходит возле дома
Кар-Кар-Кар вдруг закричит,
И спокойно улетит. Ворона.
Он других не обижает.
Ест траву, в лесу гуляет,
Но ветвистыми рогами
Может справиться с волками! Это олень.
Как мы можем разделить эти объекты? По общему признаку. В одной группе будут находиться животные, а в другой - птицы.
А теперь посмотрите – из первых букв можно сложить слово. Какое? Слово "Множество".
Под множеством понимают объединение объектов на основе каких-то общих свойств или признаков.
Чтобы узнать принадлежит объект данному множеству или нет, достаточно выделить характерный признак, по которому точно можно определить, что этот объект можно включить в данное множество. Другой же предмет, у которого этот признак отсутствует, включать в это множество нельзя.
Глядя на две наши группы, можно сказать, что у нас есть два множества: множество животных и множество птиц.
Какие объекты входят в эти множества?
В первое множество входят: медведь, енот, олень, носорог, тигр. Пять элементов.
Во второе множество: орёл, жаворонок, сова, ворона. Четыре элемента.
Объекты, которые принадлежат множеству, называются элементами множества.
Во множестве может быть любое количество элементов, даже один элемент. Может быть бесконечно большое число элементов, например, множество чисел. А также может быть и такое, что во множестве не будет ни одного элемента. Такое множество называется пустым.
Понятие множества
Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не имеет точного определения и, как правило, объясняется с помощью примеров.
Дадим следующее интуитивное определение понятия множества:
Множество– определенная совокупность объектов.
Объекты, из которых состоит множество, называютсяэлементами множества.
Множества могут быть самыми разными: детей, гуляющих в парке, множество сказок Пушкина, множество учащихся, занимающихся танцами, множество страниц в книге,множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество студентов группы и т. д.
Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С,D,X,Y…, элементы множества строчными латинскими буквами –a,b,c,d,x,y…
Для обозначения того, что объектxявляется элементом множестваA, используют символику:xА (читается:xпринадлежит А ), записьxА обозначает, что объектxне является элементом множестваA(читается:xне принадлежит А).
Множество не содержащее ни одного элемента называетсяпустым(обозначается: ).
Множества из элементов которого составляем конкретное множество называетсяуниверсальным(обозначается:U).
ПРИМЕР
U– множество людей на земле, А – студенты группы НО-17.
Задания.
Способы задания множеств
Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:
1)Перечислением всех элементовмножества в фигурных скобках.
ПРИМЕРA= {Оля, Маша, Саша}
2)Характеристическим предикатом,который описывает свойство всех элементов, входящих в множество. Характеристический предикат записывается после двоеточия или символа | .
ПРИМЕР
Р(x) =xNx< 8 -характеристический предикат.
M= {x: Р(x)} илиM= {x:xNx< 8}.
МножествоMможно задать и перечислением его элементов:
M= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ПРИМЕР
В = {x|x-четное натуральное число} = {2, 4, 6, 8, …}
Если множество состоит из небольшого количества элементов, то его удобно задавать перечислением всех элементов, если же элементов много или множество имеет бесконечное число элементов, то оно задается с помощью характеристического предиката.
Из курса школы известны следующиечисловые множества:
N– множество натуральных чисел,
N={1, 2, 3, 4,…};
Z– множество целых чисел,
Z= {…, – 3,– 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…};
Q–множество рациональных чисел,
Rили(–;)–множество действительных (вещественных) чисел;
I–множество иррациональных чисел,
Операции над множествами
1)Сравнение множеств
Множество А называетсяподмножествоммножества В, если все элементы множества А содержатся во множестве В.
Два множества называютсяравными,если они содержат одинаковые наборы элементов.
#Пустое множество является подмножеством всех множеств.
#Универсальное множествоUсодержит все множества.
#Если, то В надмножество А.
ПРИМЕР
А={0, 1, 2, 3}, В={0, 1},.
2)Объединением двух множествназывается множество, содержащее все элементы обоих множеств.
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я},
.
3)Пересечением двух множествназывается множество, состоящее из общих элементов обоих множеств.
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я}, ={К, Т, Я}.
4) Разностью множествА и Вназывается множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В.
Пример. ЕслиА={1;2;3;4},В={1;2}, то А/В={3;4};
ЕслиА= {1;2;3},В={3;4;5;6}, тоА/В={1;2};
ЕслиА={1;2;5},В={3;4}, тоА/В={1;2;5};
Множества можно изображать с помощью кругов, которые называютсякругами Эйлераилидиаграммами Венна,универсальное множество принято обозначать прямоугольником.
ПРИМЕР
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я}, А \ В={A}, В \ А ={О, С}.
5) Симметрической разностью множествА и Вназывается множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В и всех элементов множества В не содержащихся в А.
ПРИМЕР
А={К, А, Т, Я}, В={К, О, С, Т, Я}, А Δ В={A,О,С}.
6)Дополнением(дополнением до универсального множества)множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества не содержащихся в А.
7)Прямым или декартовым произведением множествAиB, называется множество всех упорядоченных пар (a,b), где первый элементaиз множестваA,а второй элементbиз множестваB.
ПРИМЕР
,
Степенью множестваназывается декартовое произведение множестваAсамо на себяnраз.
ПРИМЕР
,.
Свойства операций над множествами
1)Коммутативность.
2)Ассоциативность.
3)Дистрибутивность.
3. Задания для самостоятельного решения по теме:
1.НайдитеАВ, АВ, если
1)А={3;4;5},В={3;5;6};
2)А={0;1;7;8},В={-7;0;6;9};
3)А={1;3;5;7},В={2;4;6;8};
4)А={1;2;3},В={-1;0;1;2;3}.
2 . Найдите дополнения множестваАдо множестваВ, если
1) А={1;2;3}, В={0;1;2;3;5};
2) А={1;2;3}, В={;0;1;2;3;4};
3) А={0;1}, В={-1;0;1;-2}.
3. Найдите множестваАВ, АВ, А/В, АС, АС, ВС, ВС, если
А={-4;-3;-2;-1;0;1;2}, В={4;3;2;1;0;-1;-2}, С={-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}.
4.Рефлексия.
Математику мы на слух воспринимать не можем, нам нужно обязательно увидеть, как решается задача или пример. А понимаем и усваиваем её только тогда, когда решаем задания сами. Поэтому попробуйте закончить предложениекитайской мудрости:
Я слышу -я забываю,я вижу -я запоминаю,я делаю - …(я усваиваю).
5.Домашнее задание. Выучить конспект
Вопросы для самопроверки по теме:
1.Что такое множество?
2. Способы задания множества.
3. Перечислить операции над множествами.
4.Перечислить свойства операций над множествами.
Выполнить задания.
1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.
2. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.
3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.
Найдите (А∩В)∩С;
Разработка занятия по теме: Множества. Операции над множествами
2 курс. Дисциплина ЕН.01. Математика
Разработчик: преподаватель математики
Бурбиева Надире Абдураимовна
