Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: "Кривые второго порядка. Парабола"
Автор: Михайлова Мария Борисовна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: "Кривые второго порядка. Парабола"
Автор: Михайлова Мария Борисовна
Дисциплина – «Элементы высшей математики»Практическая работа Тема: «Кривые второго порядка. Парабола» Цель: формирование умений составлять уравнения параболы, исследовать форму и расположение параболы; формирование общих компетенций, включающими в себя способность:ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.Методические указания и теоретические сведения к практической работе Парабола — , равноудалённых от данной прямой (называемой параболы) и данной (называемой параболы).Наряду с и , парабола является . Она может быть определена как коническое сечение с единичным .Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Каноническое уравнение параболы в : (или , если поменять местами оси).Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих. Парабола, заданная квадратичной функцией при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам: где — квадратного трёхчлена. Общее уравнение параболыВ общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах равен нулю. Пример 1. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением .Решение. Из данного канонического уравнения параболы следует, что , т.е. ,откуда .Значит, точка - фокус параболы, а — уравнение ее директрисы. Пример 2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты .Решение. Согласно условию, фокус параболы расположен на отрицательной полуоси , т.е. ее уравнение имеет вид: x2= - 2py Так как , то , откуда .Итак, уравнение параболы есть , а уравнение ее директрисы . Пример 3. Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной оси Ох и проходящей через точку .Решение. Из условия заключаем, что уравнение параболы следует искать в виде .Так как точка принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: 36= - 2р*(-3); 2р=12.Итак, уравнение параболы имеет вид . Пример 4. Парабола симметрична относительно оси Ox, проходит через точку A(4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.Решение.Так как парабола проходит через точку A(4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде y2 = 2px. Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметьискомым уравнением будетЭскиз этой параболы показан на рисунке Пример 5. Парабола y2 = 2px проходит через точку A(2, 4). Определить ее параметр p.Решение. Подставляем в уравнение параболы вместо текущих координат координаты точки A (2, 4). Получаем42 = 2p*2; 16 = 4p; p = 4. Пример 6. Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 2x2 + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.Решение. Уравнение y = 2x2 + 4x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:y = 2(x2 + 2x) + 5,y = 2[(x + 1)2 - 1] + 5,y = 2(x + 1)2 + 3,y - 3 = 2(x + 1)2;пусть теперь x1 = x + 1, y1 = y - 3. Из сравнения с формуламикоординаты нового начала: x0 = -1; y0 = 3. Уравнение параболы примет вид Эскиз параболы показан на рисунке.Пример 7. Упростить уравнение параболы y = x2 - 7x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.Решение. Выделим в правой части уравнения y = x2 - 7x + 12 полный квадрат по способу, указанному выше в , и получимилиПоложимОтсюда из сравнения с формуламикоординаты нового начала, т. е. вершины параболы, будут . После переноса начала координат в точку уравнение параболы примет наиболее простой вид . Эскиз кривой представлен на рисунке. Пример 8. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:В результате получим два решения и . Точки пересечения и . Так как парабола проходит через точку и симметрична относительно оси , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид . Так как парабола проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: , , Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисы или , откуда Ответ. ; Пример 9. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота Решение. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид , а концы хорды арки и . Подставив координаты одного из концов хорды (например, ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно , получим Ответ. Задание 1.а) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у2=16р. б) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у2= -18р. Задание 2. а) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -7).б) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; 4).Задание 3.а) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (-2; - 4). Начертить эскиз данной кривой.б) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (3; - 5). Начертить эскиз данной кривой.Задание 4. а) Парабола y2 = 2px проходит через точку A(4; 8). Определить ее параметр p.б) Парабола y2 = -2px проходит через точку A(-4; -8). Определить ее параметр p.Задание 5. а) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 2x2 + 8x + 5 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.б) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 4x2 + 16x +10 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.Задание 6. а) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 2х + 2у=0 и окружности х2+у2 – 4х=0 и симметрична относительно оси Оу.б) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 3х + 3у=0 и окружности 2х2 + 2у2 - 8х=0 и симметрична относительно оси Ох.Задание 7. а) Арка здания имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 12 м, а высота 4 м.б) Арка дома имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 14 м, а высота 6 м.Отчет о практической работе (письменно)Тема практической работы Цель практической работы Умения В ходе выполнения практической работы я научился (закрепил умения) вычислять…Я получил (совершенствовал) практические навыки…Знания В ходе практической работы я получил новые знания. Узнал, что … Выводы Мне было сложно выполнять…, потому, что…Мне было несложно выполнять…, потому, что…
