«Производная функции»
Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: «Производная функции»
Автор: Шерстобитова Татьяна Викторовна
Каталог заданий по теме «Производная функции»Задание 1. Вычисление производной (базовый уровень)Тема: Правила дифференцирования суммы, произведения и частного.Пример1.1. Найдите производную функции Решение:Применим правило производной частного: , .Находим производные числителя и знаменателя: Подставляем в формулу:Ответ: .Задание 2. Геометрический смысл производнойТема: Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной. Пример 2.1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной . Рис. 6Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (3; −1), B (3; −5), C (−1; −5). Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс будет равен тангенсу угла ACB:.Рис. 7Ответ: 1.Задание 3. Физический смысл производнойТема: Скорость – это производная координаты по времени.Пример 3.1. Материальная точка движется по закону , где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени с.Решение:Физический смысл производной: скорость точки u(t)=x’(t).Находим производную функции: Подставляем заданное время : Ответ: 9 м/с.Задание 4. Анализ графика производной Тема: Связь графика производной с точками экстремума функции.Пример 4.1. На рисунке изображен график функции определенной на интервале (-3;9). Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.Рис. 8Решение: Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.Рис. 9Пример 4.2. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума на отрезке [-6; 9].Рис. 10Решение: В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке [-6; 9] такая точка всего однаЗадание 5. Касательная, параллельная прямойТема: Условие параллельности прямых (равенство угловых коэффициентов).Пример 5.1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой .Рис. 11Решение:Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны +2. Найдем количество точек, в которых это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой . На данном интервале таких точек 2.Рис. 12Задание 6. Наибольшее значение функции на отрезкеТема: Алгоритм поиска экстремумов с помощью производной.Пример 6.1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [8; 15].Решение:Преобразование и производная:Запишем функцию в удобном виде: Находим производную: Критические точки:Приравниваем производную к нулю:=0Критическая точка x=9 принадлежит заданному отрезку [8; 15].Вычисление значений:Выбор наибольшего: Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение в точке x=15 и равно -13,8.Задание 7. Задача на оптимизациюТема: Применение производной для нахождения оптимальных значений.Пример 7.1. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы произведение квадрата первого числа на куб второго было наибольшим. Найдите эти числа.Решение:Обозначим переменные. Пусть первое число равно , тогда второе равно Так как числа положительные, и , то есть Составим функцию, описывающую требуемое произведение:Найдем производнуюВынесем общий множитель, выполним преобразования.Получаем: .Критические точки. (не входит в интервал), (не входит в интервал), (принадлежит интервалу 0<x<50).Таким образом, единственная критическая точка внутри области x=20.Проверка на максимум. Определим знак производной слева и справа от точки x=20.При : При Производная меняет знак с «+» на «-, значит, в точке x=20 функция достигает максимума.Находим второе число: Ответ: 20 и 30.
