МБОУ �СОШ № 20 им. В. Митты с углубленным изучением отдельных предметов�
Урок по теме:
Различные способы решения
уравнений с модулями.
Урок провела учитель математики
Судеркина М.В. в 8А классе.
Г.Новочебоксарск.
План урока:
Вступительное слово учителя.
Повторение ранее изученного.
1.Фронтальный опрос.
2. Математический диктант с последовательной проверкой.
3.Индивидуальная работа с последовательной проверкой.
Физкультминутка.
Изучение новой темы.
Закрепление изученного. Работа по вариантам.
Решение уравнений, сводящихся к уравнениям с модулями. ГИА 2010.
Подведение итогов.
Домашняя работа.
Цели и задачи:
Отработать навыки решений уравнений с модулем;
Рассмотреть некоторые новые методы решения уравнений с модулем;
Развивать внимательность, логическое мышление, самостоятельность и творческий подход к решению уравнений с модулем.
�Знание – самое превосходное из владений.
Все стремятся к нему,
само же оно не приходит�.
Ал - Бируни
Задания, содержащие модуль-это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.
Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются и на математических олимпиадах. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики.
II. Повторение изученного.
Блиц-опрос.
Определение уравнения с одной переменной?
Что такое корень уравнения?
Что значит решить уравнение?
Какие уравнения называются уравнениями с модулем?
Математический диктант с последующей проверкой. Выставление оценок.
Модуль числа х – это расстояние от
начала координат до точки, выраженное
в единичных отрезках.
Модуль любого числа положителен.
Модуль положительного числа всегда
положителен.
Модуль отрицательного числа
всегда отрицателен.
Модуль отрицательного числа
иногда положителен, иногда
отрицателен.
Модуль отрицательного числа всегда
положителен
Модуль О всегда равен О.
Модуль О всегда положителен.
Модуль любого числа всегда равен
числу, противоположному данному
Модуль отрицательного числа
всегда равен числу, противопо-
ложному данному отрицательному
числу.
Если |х|= 17, то х = 17.
Если | -х | =27, то х = 27.
Если |с | = -12, то с = 12.
Индивидуальная работа. Работа у доски.
Решить уравнения:
||2х-1|-4|=6 метод последовательного раскрытия скобок.
Ответ: 5,5; -4,5.
Рассмотрим два случая.
1) Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то уравнение примет вид :
|2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо
2х-1= -10. Откуда х1=5,5;х2= -4,5
2)Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению имеем уравнение
|2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
│x - 1│- 2 │x + 2│= 0 методом интервалов.
Найдем точки перемены знака модуля из условий:
х – 1 = 0 и х + 2 = 0
х = 1 х = - 2
Рассмотрим данное уравнение
на промежутках
(- ∞;-2], [-2;1] , [1;+∞)
На промежутке (- ∞; -2 ]
│ х – 1 │ = – х + 1 ; │ х + 2 │ = – х – 2
значит, уравнение имеет вид:
( – х + 1 ) – 2∙ (– х – 2) = 0
– х + 1 +2х + 4 = 0
х + 5 = 0
х = – 5
- 5 принадлежит (- ∞; -2 ]
На промежутке [-2;1]
│ х – 1 │ = – х + 1; │ х + 2 │ = х + 2
значит, уравнение имеет вид:
( – х + 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0
– х + 1– 2х – 4 = 0
– 3х – 3 = 0
3х = – 3
х = - 1
- 1 принадлежит промежутку [-2;1]
На промежутке [1;+∞)
│ х – 1 │ = х – 1; │ х + 2 │ = х + 2
значит, уравнение имеет вид:
( х – 1 ) – 2∙ ( х + 2) = 0
х – 1 – 2х – 4 = 0
– х – 5 = 0
х = – 5
- 5 не принадлежит [1;+∞)
Ответ: -5;-1.
III. Физкультминутка.
IV. Изучение новой темы.
1.Основные способы решения уравнений с модулями:
Метод последовательного раскрытия модуля.
Раскрытие модуля на интервалах.
�Сравнение модулей�
�Сравнение квадратов�
Графический способ.
2. Опорная информация. Зависимости между величинами, их модулями и квадратами, на котором основаны способы �Сравнение модулей�,
�Сравнение квадратов�:
|а|2=а2
Если |а|=|в|, то а=в или а=-в;
Если а2=в2 , то а=в или а=-в;
Если |а|=|в|, то а2=в2
|cx|=c|x|, c-неотриц.
3.Решение уравнения │x - 1│- 2 │x + 2│= 0
�Сравнение модулей�,
│x - 1│= 2 │x + 2│
│x - 1│= │2x + 4│
Модули равны у чисел равных или противоположных
х – 1 = 2х + 4 или х – 1 = – 2х – 4
– х = 5 3х = – 3
х = – 5 х = - 1
Ответ:-5,-1
�Сравнение квадратов�
│x - 1│= 2 │x + 2│
Учитывая, что если |а|=|в|, то а2=в2
Получим:
(x - 1) 2 = (2 (x + 2)) 2
используем формулы квадратов суммы и разности двучлена
х2– 2х + 1 = 4 ∙ (х2 + 4х + 4)
х2– 2х + 1 = 4х2 + 16х + 16
3х2 + 18х + 15=0
х2 + 6х + 5=0
х = – 5 х = - 1 Ответ: -5,-1
V. Закрепление изученного.
Решите уравнения:
Вариант1
Сравнение модулей
|х2-8х+5|=|х2-5|
Решение:
Учитывая соотношение( если |а|=|в|, то а=в или а=-в), получим:
х2-8х+5=х2-5 или х2-8х+5=-х2+5
х=1,25 х=0 или х=4.
Ответ: 1,25; 0; 4.
Вариант2
Сравнение квадратов
|х+3|=|х-5|.
Решение:
В силу соотношения (если |а|=|в|, то а2=в2 ) получаем:
(х+3)2=(х-5)2;
х2+6х+9= х2-10х+25;
х=1.
Ответ:1.
VI. Решение уравнений с выбором способа решения. Работа по группам.
Вы узнали еще о некоторых способах решения уравнений с модулями. Ваша теперь задача выбрать те из них, которые на ваш взгляд удобнее и эффективнее для решения того или иного уравнения.
Решение уравнения №1
Рассмотрим решение уравнения на следующих промежутках
1.
2.
3.
Ответ:
2)Решение уравнения №2(ГИА 2010)
3) Решение уравнения №3
Ответ:-1,7/3
VI. Подведение итогов
.