Задачи с параметрами
Задача 1.
При каких значениях параметра, а система уравнений
имеет единственное решение?
Решение:
Заметим, что если пара чисел ( хо, уо ) решение системы, то пара (-хо,уо), так же является решением. Необходимым условием для существования единственного решения является равенство хо=0.
Положим х =0.
, получаем =0 или =2.
Итак, искомые значения параметра следует выбирать из множества { 0;2}.
Если =0,то
Получаем: у=0; у=-1
х= х= 0
Система имеет 3 решения ( 1; 0), (-1;0), (0; -1) .Следовательно, не может быть равно нулю.
Если =2.
2х4=у-1-
2х4+1+=у у
у2=1-х2 у= значит у=1,следоватнльно х=0
При =2 система имеет единственное решение.
Ответ: =2.
Задача 2.
Решите систему уравнений
Решение:
х=
(-2) (27у=4,5
(-2) ( -1-у-у) +54у=9
-+2-2у+2у-у+2у+54у=9
у (-2++56)=7+
у (2--56)= -7-
у(-8) (+7)= -(+7)
Если, =-7, 0у=0,у-любое, х=
Если, =8,у . 0=-15, нет решений.
Если, -7; 8,ед.к. у=
х=
Ответ: При =8 нет решений.
При =-7, у-любое, х=
При 8, -7, х= у=
Задача 3.
При каких значениях параметра система неравенств
имеет единственное решение.
Решение:
Рассмотрим координатную плоскость х0 и изобразим на ней точки, удовлетворяющие неравенствам системы. 4
Мы получим фигуру ограниченную параболами.
=х2-2х
=4х-х2АВ
1)=х2-2х
хв=
в=1-2=-1 0 1 2 4
2)=-х2+4х х
хв= -1
в=-4+8=4
Если прямая =0, пересёкает заштрихованную фигуру по отрезку АВ, то это означает, что при =0 система имеет решения, равные абсциссам точек отрезка АВ. Нам нужно найти такие значения параметра , при которых соответствующая горизонтальная прямая имела бы с заштрихованной фигурой одну общую точку.
По рисунку видно, что такими значениями параметра являются =-1и = 4.
Ответ: =-1 = 4.
Задача 4.
Определить количество решений системы
Решение:
Если =0, то у=При = 0 в системе одно решение.
х=
Если 0, то х=
(3а+14)
(3а+14)( а2+1-3у)+( 2+8) у = 52+5
33+142+3+14-9у-42у+2у+8у=53+5
у(2--42)= 23-142+2-14
у. (-7) .( +6) = 2(2+1) (-7)
1). Если =7,то уравнение примет вид 0 . у=0, у- любое, х=
2).Если =-6, т уравнение примет вид 0у=-962, нет решений.
3). Если 6, 7, то в уравнении одно решение у=, х=
Ответ: при =0 одно решение;
при = -6 нет решений;
при = 7 бесконечно много решений;
при -6; 0; 7 одно решение.
Задача 5.
При каких уравнения
х2-=0 и равносильны?
Решение:
1).Если >0, то первое уравнение х2-=0 имеет два корня, а второе уравнение – только один, и в этом случае о равносильности речь идти не может.
2).При = 0 решения уравнений совпадают.
3).При < 0 ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. А ведь, как известно, такие уравнения такие уравнения считаются равносильными.
Ответ:
Задача 6.
При каких уравнение х = 2 равносильно неравенству ?
Решение:
1). При уравнение х = 2 имеет единственное решение, т.е. х =, а неравенство- бесконечно много.
2).Если = 0, то решение как неравенства, так и уравнения является все множество действительных чисел.
3). Таким образом, требованию задачи удовлетворяет только =0.
Ответ: =0.
Задача 7.
Решить неравенство (-1) (1)
Решение:
1).Понятно, что область определения х
2). Понятно также и следующее, что ответ зависит от знака (-1).
3). При очевидно, неравенству (1) удовлетворяет любое значение из области определения, т.е. х
4). При -1>0 левая часть неравенства (1) неотрицательна, в одном случае х=0- единственное решение.
Ответ: если то х; если >1, то х=0.
Задача 8.
При каких неравенство (х-) (х-2) (1)
имеет единственное решение?
Решение:
1) Если =2, то требование задачи удовлетворяется. И действительно, при = 2 получаем неравенство (х-2)2 (2) имеющее единственное решение.
2).А для случая, когда решение неравенства (1), очевидно, будет отрезок.
Ответ: = 2.
Задача 9.
При каких неравенства (х-)2 (х-2)(х+3)0 (1)
будет отрезок?
Решение:
1). Так как (х-)20, то неравенство (1) равносильно системе
(2)
2).Решением системы неравенства будет отрезок -3
Следовательно, при решением системы (2) также будет отрезок.
Ответ: -3
Задача 10.
Определите, при каких значениях m система уравнений будет
имеет положительные решения?
Решение:
-у = - 60 + 2m
у = -2m + 60
2х+300-10m =20
2x=10m-280
x=5m-140
Ответ: при m(28,30)
Задача 11.
Определите, при каких k система , имеет отрицательное решения .
Решение:
3 k y-30y = -1
y ( 3k-30) = – 1
y=
3x+
3x+=1
3x=1-
3x=
x=
Ответ: при k(10; 12)
Задача 12
При каких целых значениях n решение системы удовлетворяет условие х>0 и у<0
Решение
у=nх+5
2х+3n (nх-5)=7
2х+3n2x-15n=7
(2+3n2)x=7+15n
x=
y=
Ответ:
Задача 13.
Определите число m таким образом, чтобы корень уравнения был больше 1.
о.о. х
Решение
3x+3m=2xm-x
4x-2xm=-3m
( 4-2m) x = -3m
x=
Ответ:x>1 при m
Задача 14.
При каких k система уравнений имеет решения?
Решение:
y=x-2,5k
y=x
k=0.Система имеет бесконечное множество решений.
Если k0, то прямые параллельны , значит система не имеет решений.
Ответ: Система имеет решение только при k=0.
Задача 15.
Найти при которой x система имеет решение
Решение
х2-2-х2=0
х2(1-2)=1
х2=
х=
1-2>0
-1<<1
(1-) (1+)>0
Ответ: при -1<<1.
Задача 16.
Решите систему
Решение
х=1-у
(1-у)+у=1
-2у+у=1
у(1-2)=1-
у=
х=1-
Если =
=1
=-1 нет решений х=1+у
х=у-1
Ответ: При =1 х- любое, у=1-х.
При =-1 нет решений.
При х = у= .