Открытый урок по алгебре и началам анализа
по теме:
�Применение производной к исследованию функции�
С применением компьютерных информационных технологий
Цели:
образовательная: выявить уровень овладения обучающимися комплексом знаний свойств функции (область определения, четность, нечетность, промежутки знакопостоянства и монотонности) и умений по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях;
Раскрыть возможности использования производной для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.
развивающая: развивать навыки самоконтроля при выполнении самостоятельной работы, умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции.
воспитательная: способствовать воспитанию воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
методическая: показать проведение урока с применением компьютера, проанализировать уровень подготовки обучающихся к восприятию новой темы.
Тип урока: комбинированный.
Методы обучения: словесный (фронтальный опрос, практическая работа, частично-поисковый).
Оборудование: компьютер, презентация, индивидуальные карточки с заданиями для проведения рефлексии, листы с творческим заданием.
Внутрипредметная связь: глава V, тема № 1, урок 72; тема № 2, урок 83-86.
Структура урока:
Организационный момент.
Вступительное слово преподавателя.
Основное содержание
Фронтальный опрос
Актуализация ЗУН
Изучение нового материала
Закрепление изученного материала
Задания ЕГЭ
Творческое задание
Домашнее задание
Подведение итогов. Выставление оценок.
Ход урока:
Организационный момент. Приветствие, рапорт дежурного. (Слайд 1,2)
Сегодня на урок я пришла с настроением, которое у меня ассоциируется с солнышком. Покажите, пожалуйста, ваше настроение: если радостное и спокойное, то покажите солнце, с тревогой и печалью – солнце за тучей, пасмурное, хочется остаться дома – туча.
Я надеюсь, что встреча с математикой укрепит ваше хорошее настроение.
Тема урока �Исследование функции с помощью производной�. Цель занятия - выявить уровень овладения вами комплексом знаний по свойствам функции (область определения, четность, нечетность, периодичность, промежутки знакопостоянства и монотонности) и умений по исследованию функции и ликвидировать имеющиеся у вас пробелы.
А при выполнении заданий вас ждёт сюрприз, а точнее небольшая проблема, для решения которой необходимо будет пополнить багаж ваших знаний. Мы изучим свойство функции, которое рассматривается в классах с углублённым изучением математики. Я верю вам интересно попробовать свои силы и доказать себе и другим, что вы можете подняться на новую ступеньку в своих знаниях.
Теме �Функция� уделяется большое внимание в курсе математики, потому, что функция, её график часто встречается в жизни, в профессиональной среде, в работе врачей, юристов.
Фронтальный опрос. (Слайд 3-8)
Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной.
Поэтому давайте вспомним:
Достаточный признак возрастания функции.
Достаточный признак убывания функции.
Какие точки области определения функции являются критическими точками.
Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма)
Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).
Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака)
Например, найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (практическая работа).
(у доски) (слайд 9)
Актуализация знаний, умений и навыков. (слайд 10-13)
После повторения некоторых свойств функции предлагаются задания для выполнения (устно).
1. Какова область определения функции?
2. Найдите область определения функции .
3.�Найдите область значений функции у=10-2x2�
4.� В каких точках график функции пересекает ось абсцисс у=x2+1
5. Какая это функция: четная или нечетная ?
6. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.
�
7.На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их.
�
�
Изучение нового материала.
Тема �Исследование функции с помощью производной�. (Слайд 14)
Впервые обозначение у=f(х)���для функции ввел Леонард Эйлер. Швейцарец по происхождению, математик, физик, астроном.
В 1726 году был приглашен в Петербургскую академию наук. В 1727 году переехал в Россию.
При рассмотрении физического смысла производной вы узнали, что первая производная от координаты по времени помогает находить скорость, а вторая ускорение. При исследовании функции тоже помогает производная. Как мы сейчас повторили, благодаря производной можно легко находить промежутки монотонности. А вот какое влияние оказывает на график функции вторая производная, мы попробуем установить далее.
Для того чтобы определить, как связаны между собой график функции и вторая производная, проведем исследование функции по следующей схеме:
Схема исследования графика функции. (слайд 15)
Найти область определения функции. (Указать множество значений переменной�х, при которых данная функция определена).
Исследовать функцию на четность. (Выяснить, симметрична ли область определения функции относительно начала координат и найти�y = f(-x). Если�f(-x) = f(x), то функция четная, если�y f(-x) = -f(x), то функция нечетная).
Найти нули функции. (Точки пересечения с осями координат).
Исследовать функцию на монотонность. (Если�f ’(x) > 0, то функция возрастает, если�f ’(x) < 0, то функция убывает).
Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума).
Дополнительные точки.
Построение графика.
Пусть дана функция: . (Слайд 16)
Решение:
D(f)=R, т.к. f -многочлен.
Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
Находим точки пересечения графика с осями координат:
а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)
б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)
Найдем производную функции:
Найдем критические точки: , т.е. 6х-3х2=0, х=0 или х=2.
Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке.
I. (-1)6(-1)-3(-1)2=-6-3=-9<0
II. (1)6*1-3*12=3>0
III.(3)6*3-3*32=-9<0
Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает.
х=0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.
Вычислим ymin: уmin=0.
х=2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.
Вычислим уmax : У max=4.
Составляем таблицу для внесения всех данных
x
0
(0;2)
2
-
0
+
2
-
f(x)
0
4
min
max
Строим график функции. (слайд 17)
Теперь познакомимся с дополнительными свойствами функции, которые устанавливаются с помощью второй производной, т.е. производная второго порядка.
Выпуклость графика функции и точки перегиба. (слайд 19)
Определение. Производную от первой производной функции f(x) называют второй производной или производной второго порядка этой функции. Обозначают
(слайд 20) Рассмотрим пример. Пусть дана функция f(x)=x3. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз, точку перегиба.
Найдем = 3х2
Найдем вторую производную
Найдем критические точки второго рода: 6х=0, х=0.
Определяем знак второй производной в каждом промежутке.
I. (-1)6(-1)=-6<0 для всех х <0 .
Значит, функция выпукла вверх в этом промежутке.
II. (1)6*1=6>0 для всех х>0 .
Значит, функция выпукла вниз (вогнута).
х=0 – точка перегиба, т.к. функция меняет в этой точке направление выпуклости.
Бывают случаи, когда кривая в одной части выпукла, а в другой – вогнута. Например, синусоида.
Закрепление нового материала. Практическая работа. (слайд 21)
Найти интервалы выпуклости и точку перегиба, если f(x)= х4-6х2+4.
Задания ЕГЭ (слайд 22-25)
Так производная функции и ее применение часто встречаются в заданиях ЕГЭ. Рассмотрим элементарные примеры из части В на применение производной.
Итак, такое задание: на рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4;4]
Решение:
Отметим на рисунке указанный промежуток и проанализируем как на этом промежутке изменяется производная и сама функция.
Производная на заданном отрезке дважды меняет знак с + на – и один раз с – на +. Значит на заданном отрезке функция имеет две точки максимума и одну точку минимума.
Таким образом, количество экстремумов равно 3.
Задача 2. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции. В ответ укажите длину наибольшего из них.
Решение:
Функция убывает на промежутке, если ее производная не положительна на этом промежутке. Найдем на рисунке такие промежутки.
Определим длину каждого промежутка. Выберем из них наибольший. Ответ: 6.
Творческое задание. (слайд 26)
Указание: найдите функцию в таблице, исходя из её “автобиографии”. Найдите область определения, нули функции, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.
Я – функция сложная, это известно,
Еще расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.
Домашнее задание. (слайд 27)
1. № 300 (а, б).
2. Нестандартное задание: найдите функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках физики и исследуйте их.
Итоги урока. (слайд 28)
Рассмотрите взаимосвязь между свойством функции и производной. Как влияет знак второй производной на выпуклость функции.
Выставление оценок за фронтальный опрос, за практическую работу у доски.
Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше настроение в конце нашего урока.
Спасибо вам за активное участие на уроке!!!
Литература:
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11�кл.сред.шк. /А.Н.Колмогоров и др./
Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват.учреждений /Ш.Алимов и др./
Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. для общеобразоват. учреждений /А.Г.Мордкович/
Поурочные планы. Алгебра 11 класс по учебнику Ш.Алимова.
Математика для техникумов на базе средней школы. Учеб.пособие. /И.И.Валуцэ, Г.Д.Дилигул/
HYPER13PAGE HYPER15
10