2017-2018 учебный год
Конспект занятия по теме �Тригонометрические неравенства�.
Преподаватель математики ГБПОУ СПТ им. Б.Г. Музрукова
С.Н. Куванова
Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления студентами. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.
Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.
Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.
Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.
Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.
Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.
Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Рt2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1и t2.
Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.
Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.
Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у студентов, приведены в предлагаемом конспекте.
Конспект занятия по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.
Задача занятия – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.
Цели занятия:
закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к однодногруппникам.
формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.
Оборудование: раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, доска, карточки с домашним заданием.
Форма организации обучения – занятие (45 минут).
Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.
N п/п
Этапы урока
Содержание
�
Организация группы на работу.
�
�
Проверка домашнего задания.
(Сбор тетрадей с домашней работой)
�
Формулировка цели занятия.
– Сегодня на занятии повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.
�
Устная работа.
(Задания и ответы записаны на доске, открываю ответы по ходу решения)
Решить тригонометрические уравнения:
sinx = -HYPER13 INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
, 2sinx = INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
, sin2x =  INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
, sin(x �  INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
) = 0, cosx =  INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
,
cosx = - INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
, cos2x = 1, tgx = -1.
Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
�
Повторение.
– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух студентов для решения неравенств. Студент подробно объясняет алгоритм решения. Группа работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).
1) sinx + 2p n х + 2p n < х < + 2p n, n Z.
– Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства?
(3) и 4) неравенства два студента решают на доске, группа – самостоятельно на карточках).
3) cosx< ;
;
+ 2p n < х< ;
+ 2p n< х<  INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
+ 2p n, n  INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET 
Z.
– Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища.
(Самопроверка с доски.
Комментирует решение студент, выполняющий задание.
После возвращения работ – рефлексия).
– Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на ? (Оценивание работ студентов).
6.
Новый материал.
– Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,
решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.
(Решение неравенств на доске под руководством учителя).
№1. cos22x – 2cos2x 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).
cos2x(cos2x – 2) 0.
Замена: cos2x = t, 1.
cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).
Ответ: + p n< х< + p n, n Z.
№2. 6sin2x – 5sinx + 1 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает студент с комментариями).
Замена sinx = t,
Ответ: + 2p n х arcsin+ 2p k, n, k Z.
№3. sinx + cos2x> 1.
(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Группа решает самостоятельно, один студент – на индивидуальной доске с последующей проверкой).
sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin2x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,
Ответ:
2p n< x< + 2p n, + 2p n< x< p + 2p n, n Z.
№4. coscosx – sinsinx< -.
(Обсуждение. К доске вызываются по одному студенту на каждый шаг решения, комментируются этапы. Преподаватель проверяет запись у студентов, работающих на месте).
cos(x + ) < -, cost< -.
+ 2p n< t< + 2p n, n Z,
+ 2p n< x + < + 2p n, n Z,
+ 2p n< x< + 2p n, n Z.
Ответ:
+ 2p n < x < + 2p n, n Z.
№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство
4sinx + 3cosx а имеет хотя бы одно решение.
(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на доске. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).
4sinx + 3cosx а, М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx . Так как ()2 + ()2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждом а таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.
7.
Домашнее задание.
(Раздаю карточки с записью домашнего задания. Комментирую решение каждого неравенства).
cosx > sin2x;
4sin2xcos2x < -;
cos2 sin2 – 0,5;
sinx + cosx > 1.
Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.
8.
Подведение итогов, рефлексия.
– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.
– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?
– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?
(Оцениваю работу студентов на занятии).
Самостоятельная работа по результатам освоения материала
Вариант 1
Решите неравенства 1 – 3:
sin3x – < 0;
cos2x + 3cosx > 0;
coscos2x – sinsin2x -.
Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx а имеет хотя бы одно решение.
Вариант 2
Решите неравенства 1 – 3:
2cos> 1;
sin2x – 4sinx < 0;
sincos3x – cossin3x -.
Определите все а, при каждом из которых неравенство 6sinx-8cosx а имеет хотя бы одно решение.