Язык издания: русский
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Методические рекомендации для изучения темы Площади плоских фигур
Автор: Стояновская Людмила Ивановна
Периодичность: ежедневно
Вид издания: сборник
Версия издания: электронное сетевое
Публикация: Методические рекомендации для изучения темы Площади плоских фигур
Автор: Стояновская Людмила Ивановна
ГБС(К)ОУ школа № 26 V вида Краснодарского края г. КраснодараМетодические рекомендации по изложению темы«Площади плоских фигур»по геометрии в 7 - 9 классахПодготовила: учитель математикиСтояновская Л.И.2013 г.Аннотация. В методической разработке даётся построение доказательств формул площадей плоских фигур посредством повторяющегося методического приёма. Разработка может быть полезна учителям математики коррекционных школ.Введение. Математика в школе относится к числу наиболее отвлечённых, абстрактных учебных дисциплин. Эта особенность учебного предмета является причиной дополнительных трудностей, которые испытывают учащиеся коррекционных школ, вследствие наблюдающихся у них различного рода отклонений физического и психического развития. Одним из способов преодоления трудностей понимания и усвоения учащимися учебного материала может стать хорошо продуманные методические разработки тем и уроков, упрощающие академический стиль учебника.Показательными для этой цели являются уроки геометрии, объектами изучения которой являются плоские и объёмные фигуры, легко отождествляемые с реальными телами в быту и технике. Настоящая методическая разработка написана к учебной теме «Площади плоских фигур».При разработке темы преследовалась цель: найти методические приёмы, которые удовлетворяли бы требованиям научности изложения но, вместе с тем, имели бы элементы большей наглядности и простаты подачи материала. Для достижения цели применялись два приёма:Рисункам, сопутствующим доказательствам формул площадей, придаётся целенаправленная контрастность, при которой выделяются элементы рисунка, требующие на уроке наибольшего внимания учащихся. Для доказательства формул площадей плоских фигур используется один и тот же методический приём на протяжении всей темы, что устраняет, на мой взгляд, излишнее многообразие приёмов для учащихся, испытывающих отставание в умственном развитии. Изучение темы «Площади плоских фигур» целесообразно начинать с нахождения площади прямоугольника. Прямоугольники ограничивают поверхности большого количества тел, окружающих школьника. Прежде всего, жилище: пол, потолок, стены, окна, двери, поверхность стола, книги, тетради и т.п. – всё это прямоугольники разных площадей. Доказательство формулы площади прямоугольника в данной методической разработке является исходным пунктом, позволяющим далее обосновывать, без привлечения каких-либо новых логических понятий, формулы площадей других плоских фигур от треугольника до круга включительно.Единицы измерения площади. Площадь – одна из основных математических величин, характеризующая геометрические фигуры (реальные тела, объекты и т.п.). В простейших случаях площадь измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов со стороной, равной единице длины. Квадрат со стороной 1 м является основной единицей измерения площади. Эта единица называется квадратный метр (м2), рис. 1.1 мДля измерения больших площадей (поверхности озёр, морей, тер-риторий государств и т.д.) используют более крупную единицу1 мплощади – квадратный километр (км2). Малые поверхности (площади) измеряются квадратными сантиметрами (см2).3. Нахождение площади прямоугольника.Определение: Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны (рис. 1). B aCbA Dрис. 1Пусть дан прямоугольник ABCD, площадь которого нужно определить. Введём обозначения: длина прямоугольника BC = AD = a(м); ширина AB = CD = b(м). Разобьём сторону BC точками K, L, M, N на равные отрезки BK = KL = LM = MN = NC длиной 1 м каждый (рис2а). Точно также разобьём сторону CD точками Q, F, на равные отрезки CQ = QF = FD длиной 1 м каждый. Через точки K, L, M, N проведём прямые параллельные сторонам AB и CD прямоугольника. Соответственно через точки F, Q проведём прямые параллельные сторонам BC и AD. В результате прямоугольник ABCD окажется покрыт единичными квадратиками с площадью 1 м2 каждый. Площадь всех квадратиков равна площади прямоугольника ABCD. Как найти число всех квадратиков? B K L M N C B C Q EFDрис. 2а рис. 2бВыделим на прямоугольнике полоску BCQE (рис. 2б). Так как её ширина 1 м, а длина «a» метров, то на ней помещается «a» единичных квадратиков. Столько же квадратиков поместится на второй, третьей и т. д. горизонтальных полосках, равных полоске BCQE. Всего полосок «b». Легко понять, что число всех единичных квадратиков, покрывающих прямоугольник ABCD, равно числу квадратиков на одной полоске, умноженному на число полосок. Итак,SABCD = Sпрямоуг. = abВывод: площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Площадь квадрата. Определение: квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 3).Пусть дан квадрат ABCD. Введём обозначение: AB = BC = CD = DA = a(м). Площадь квадрата, так же как и площадь прямоугольника, равна произведению его длины на ширину. Но у квадрата длина «а» равна ширине «а». Следовательно, B a CSABCD = Sквадр. = аа = а2 A D Вывод: площадь квадрата равна квадрату его стороны.рис. 3Вывод формул площади других плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции, круга) достигается путём последовательного применения для всех случаев одного и того же методического приёма: геометрическая фигура разбивается на треугольники, сумма площадей которых составляет площадь данной фигуры. Этот наглядный способ доказательства развивает познавательное воображение ученика, способствует более осмысленному восприятию материала урока.Площадь прямоугольного треугольника. Определение: треугольник – это замкнутая плоская фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки. Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным.Любой прямоугольник ABCD (рис. 4) делится своей диагональю BD на два равных прямоугольных треугольника ABD и BCD (рис. 4а). B a C B B a Cb bb A D A D Dрис. 4рис. 4аА равные фигуры имеют равные площади. Следовательно, площадь каждого прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника.SABC = SBCD = SABCDС помощью введённых обозначений площадь прямоугольного треугольника можно записать в виде S = ab.В прямоугольном треугольнике стороны AD = a, AB = b, образующие прямой угол, называются катетами.Вывод: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.Площадь произвольного треугольника. Первый вариант.Пусть дан не прямоугольный разносторонний треугольник ABC со сторонами a, b, c (рис. 5). Опустим из вершины B на основание AC = a высоту BD = h. Высота BD разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника ABD и BCD (рис. 5а). Bbc AC D a рис. 5B B h ADCрис. 5аИзвестно, что площадь фигуры равна сумме площадей частей, из которых она состоит. Следовательно, площадь треугольника ABC можно представить как сумму площадей треугольников ABDи BCD.SABC = SABD + SBCD (1)Но SABD = ADh; SBCD = DCh, где AD и h – катеты ABD; DC и h – катеты BCD. Подставим значения площадей треугольников в равенство (1). Получим:SABC= ADh + DCh = h (AD + DC) (2)Сумма (AD + DC) = AC = a. Заменим в равенстве (2) сумму в скобках на равную ей величину «а», получим S = ah()Получили формулу площади произвольного разностороннего треугольника.Вывод: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.Второй вариант.Высота h в треугольнике ABC и сторона AB = b являются соответственно катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике ABD (рис. 5б). B b h ADaCрис. 5бОбозначим угол при вершине A буквой . Отношение катетаh, лежащего против угла , к гипотенузе b есть синус угла: Выразим из этого равенства величину h: h = bПроизведение b, определяющее вершину h, подставим в формулу () площади разностороннего треугольника.S = ab()Вывод: площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.Площадь параллелограмма. Определение: Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.Пусть дан параллелограмм ABCD(рис. 6). Проведём диагональDB . Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:ABD и DBC (первый признак равенства треугольников: угол A = углу C; AB = DC; AD = BC, рис. 6б). AB A B B hDC D D аCрис. 6 рис. 6аТак как площади треугольников одинаковы, то площадь параллелограмма можно представить как удвоенную площадь одного треугольника, например, DBC(рис. 6). Sпарал. = SABCD = 2SDBC(1)Обозначим основание параллелограмма DA = a. Эта сторона является также основанием треугольникаDBC. Опустим из вершины B на основание треугольника высоту h, которая будет также высотой параллелограмма, так как определяет расстояние между параллельными сторонами ABи DC. Запишем известную формулу площади треугольника:Sпарал. =ahПодставим это значение площади треугольника в равенство (1). Получим формулу площади параллелограмма:Sпарал.=2ah = ahИтак, Sпарал. =ahВывод: площадь параллелограмма равна произведению основания параллелограмма на его высоту.Площадь ромба. Вариант первый.а а аммffhарис. 7Вариант второй. B A d1 O C d2D рис. 8 B A d1 O C Dрис. 8аПлощадь трапеции. Определение: трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.Пусть дана трапеция ABCD (рис. 9). Параллельные стороны AD и BC называются основаниями трапеции. Обозначим основания AD = a, BC = b. b B C AD а рис. 9Проведём диагональ трапеции BD. Диагональ делит трапецию на два треугольника ABD и BCD. Очевидно, что площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников: SABCD = SABD + SBCD (1) B B b C E hh A Faрис. 9а DВ треугольнике ABD опустим высоту BF = h на основание «a» (рис. 9а). В треугольнике BCD опустим высоту DE = h на продолжение основания «b». Высоты треугольников равны, т.к. они определяют расстояние между параллельными основаниями «a» и «b» трапеции. Высота треугольника является одновременно и высотой трапеции. Запишем формулы площадей треугольников:SABC = ah; SBCD = bh.Подставляя значения площадей треугольников в равенство (1), получим формулу площади трапеции:SABCD = ah + bh = (a + b)h илиSABCD = hВывод: площадь трапеции равна произведению полу суммы оснований на высоту. Площадь круга. R О рис. 10рис. 11рис. 12 A B рис. 13 ()Очевидно, что при достаточно большом числе сторон площадь многоугольника будет практически совпадать с площадью круга. Т.е., ()Зададим вопрос: при каком числе сторон n площадь правильного вписанного многоугольника можно отождествлять с площадью круга? Произведение , стоящее перед , не зависит от радиуса круга. Начиная с n 150 (см. таблицу), это число с точностью до сотых долей имеет постоянное значение 3,14…Постоянство множителя (числа) перед R2при увеличенииn от150 до 10000 служит признаком того, что площади многоугольника и круга совпадают с точностью до сотых долей. Число 3,14… обозначают буквой греческого алфавита (пи). Заменяя произведение буквой в равенстве (), получим формулу площади круга:R2.Примечание. Найти точное (математически точное) значение площади круга по формуле R2 нельзя, т.к. число , известное в математике как трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью. Для практических целей ограничиваются числом 3,14…
